人教版必修二4.4.3空间两点间的距离公式课件（50张）
文档属性
| 名称 | 人教版必修二4.4.3空间两点间的距离公式课件（50张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 680.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-16 11:12:49 | ||
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文档简介
课件50张PPT。4.3.2
空间两点间的距离公式 【知识提炼】
空间中两点间的距离公式
(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=
__________________________.
(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗?
提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.
(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?
提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为( )
A. B. C.2 D.6
【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为 ( )
A.6 B. C.14 D.
【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为 .
【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为
答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为 ,则m= .
【解析】由于 解得m=1或m=5.
答案:1或5【知识探究】
知识点 空间两点间的距离
观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系?
问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】
1.对空间两点间距离公式的两点说明
(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解
(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明
(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.
(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】
类型一 求空间两点间的距离
【典例】1.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且
|AB|=2 ,则实数x的值是 ( )
A.-3或4 B.6或2 C.3或-4 D.6或-2
2.点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B
与点A关于x轴对称,则|BC|的值为 .3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?
提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.
2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?
提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.
3.典例3中如何建立空间直角坐标系?
提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为
解得x=6或x=-2.
2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),
故
答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),
C1(0,0,2),B1(0,2,2),
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法
(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.
(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【课堂训练】在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为 .
【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角
线长为|AC1|=
所以正方体的棱长为
答案:类型二 求空间点的坐标
【典例】1.已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是 .
2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?
提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).
2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?
提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得
解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).
答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,
所以AB⊥OA,
设B(0,y,0),
则有OA= ,|OB|=y,
|AB|=
由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,
所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】
1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,
得
解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?
【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,
得
解得 即点P的坐标是
答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件,则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【课堂训练】给定的空间直角坐标系,在x轴上
找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为 则P点的坐标为 .
【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,
即 解得x=3或x=-1.
答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】
1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点
Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求
解?
【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,
解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又
如何求解?
【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,
解得 或
所以点P的坐标为(0,2+ ,0)或(0,2- ,0)类型三 空间两点间距离公式的应用
【典例】1.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,
3),则△ABC的形状是 ( ).
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形2.在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?
提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.
2.典例2中怎样表示出PQ的长度?
提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.课后作业：
课本习题4.3 1，2，3【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以
所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影
R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|= 而
侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的
坐标为(-x,x, )(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上,
所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为
显然当
x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于 这时,点P恰好为
SC的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?
【解析】
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用
利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为 ,此时A点与B点的坐标为 .
【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】
所以当 时,|AB|取得最小值
此时A,B坐标为
答案: 2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点
上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐
标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方
体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.
【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意 设点Q(0,1,z),则
所以当 时,|PQ|min=
此时 Q恰为CD的中点.易错案例 利用两点间的距离公式求点的坐标
【典例】在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B是
平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点
B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,
-x+1,0),所以
所以当 时,|AB|取得最小值
此时点
答案:【防范措施】
1.借助点的特征巧设点的坐标
如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.2.坐标化解决位置问题
当空间几何的位置问题利用空间的点、线、面的位置关系解决比较复杂时,可建立空间直角坐标系,利用坐标则可以方便地处理.如本例中设出点B的坐标后转化为函数的最值问题,从而使问题得以解决.
空间两点间的距离公式 【知识提炼】
空间中两点间的距离公式
(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=
__________________________.
(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗?
提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.
(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?
提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为( )
A. B. C.2 D.6
【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为 ( )
A.6 B. C.14 D.
【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为 .
【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为
答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为 ,则m= .
【解析】由于 解得m=1或m=5.
答案:1或5【知识探究】
知识点 空间两点间的距离
观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系?
问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】
1.对空间两点间距离公式的两点说明
(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解
(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明
(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.
(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】
类型一 求空间两点间的距离
【典例】1.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且
|AB|=2 ,则实数x的值是 ( )
A.-3或4 B.6或2 C.3或-4 D.6或-2
2.点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B
与点A关于x轴对称,则|BC|的值为 .3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?
提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.
2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?
提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.
3.典例3中如何建立空间直角坐标系?
提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为
解得x=6或x=-2.
2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),
故
答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),
C1(0,0,2),B1(0,2,2),
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法
(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.
(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【课堂训练】在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为 .
【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角
线长为|AC1|=
所以正方体的棱长为
答案:类型二 求空间点的坐标
【典例】1.已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是 .
2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?
提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).
2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?
提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得
解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).
答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,
所以AB⊥OA,
设B(0,y,0),
则有OA= ,|OB|=y,
|AB|=
由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,
所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】
1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,
得
解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?
【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,
得
解得 即点P的坐标是
答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件,则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【课堂训练】给定的空间直角坐标系,在x轴上
找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为 则P点的坐标为 .
【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,
即 解得x=3或x=-1.
答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】
1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点
Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求
解?
【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,
解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又
如何求解?
【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,
解得 或
所以点P的坐标为(0,2+ ,0)或(0,2- ,0)类型三 空间两点间距离公式的应用
【典例】1.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,
3),则△ABC的形状是 ( ).
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形2.在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?
提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.
2.典例2中怎样表示出PQ的长度?
提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.课后作业：
课本习题4.3 1，2，3【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以
所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影
R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|= 而
侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的
坐标为(-x,x, )(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上,
所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为
显然当
x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于 这时,点P恰好为
SC的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?
【解析】
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用
利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为 ,此时A点与B点的坐标为 .
【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】
所以当 时,|AB|取得最小值
此时A,B坐标为
答案: 2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点
上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐
标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方
体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.
【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意 设点Q(0,1,z),则
所以当 时,|PQ|min=
此时 Q恰为CD的中点.易错案例 利用两点间的距离公式求点的坐标
【典例】在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B是
平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点
B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,
-x+1,0),所以
所以当 时,|AB|取得最小值
此时点
答案:【防范措施】
1.借助点的特征巧设点的坐标
如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.2.坐标化解决位置问题
当空间几何的位置问题利用空间的点、线、面的位置关系解决比较复杂时,可建立空间直角坐标系,利用坐标则可以方便地处理.如本例中设出点B的坐标后转化为函数的最值问题,从而使问题得以解决.