课件20张PPT。参数方程第二讲2.4 渐开线与摆线2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程要点一 渐开线要点二 摆线考点一 渐开线
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的步骤
(1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P的坐标；
(2)取定运动中产生的某一角度为参数；
(3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表达式；
(4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．思维导引：本题考查对渐开线参数方程的理解．3【变式1】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．考点二 摆线
假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心B转过φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么线段OA的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ；如果点M绕圆心B运动一周后到切点E的位置，那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓的“无滑动地滚动”的意义．从上述分析可以看到，在圆沿定直线无滑动的滚动过程中，圆周上定点M的位置可以由圆心角φ唯一确定，因此以φ为参数是非常自然的．【例题2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．【变式2】 求半径为2的圆的摆线的参数方程(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数)．考点三 渐开线、摆线的综合运用
渐开线和摆线的概念虽有相似之处，但它们的本质完全不同，渐开线的本质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹，摆线的本质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，在运用时往往因理解不透导致判断错误．【例题3】 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
思维导引：本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．【变式3】 如图所示，ABCD是边长为1 的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AE，EF，FG，GH的圆心依次为B，C，D，A，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π C．5π D．6πC 课件32张PPT。模块备考方略题型一 直角坐标与极坐标的互化2 【考题2】 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为__________________________.ρ2＋12ρ cos θ＋11＝0在极坐标系中，曲线上点的坐标(ρ，θ)满足方程f(ρ，θ)＝0，这就是曲线的极坐标方程．与平面直角坐标系中通过建立曲线的方程，然后利用方程研究曲线的性质思想方法一样．高考中对曲线的极会标方程的考查，主要集中在直线的极坐标方程、圆的极坐标方程的求解方面．题型二 求曲线的极坐标方程A 用参数法求动点的轨迹方程，或利用已选定的参数建立曲线的参数方程是高考重点考查的内容之一．高考对求曲线的参数方程要求不高，一般放在解答题中的第一问出现，难度不大．在解题时要明确曲线参数方程的特点，根据题意选择适当的参数，利用已知条件求得参数方程．题型三 求曲线的参数方程题型四 参数方程及其应用参数方程及其应用是高考考查的重点内容，主要考查参数方程与普通方程互化的方法与技巧，利用参数方程求解有关最值和范围等，选择题、填空题和解答题的形式都可能出现，选择题和填空题主要考查基本公式，由参数方程化普通方程，参数的几何意义等，难度较小，解答题着重考查知识的应用能力，具有较强的综合性．素养一 设点的坐标参数化思想
对于有关圆锥曲线最值问题，可设曲线上的点的参数形式，从而将最值问题转化为三角数的值域或最值问题，并要注意参数本身的取值范围．素养二 建系解析法思想
几何问题可通过建立坐标系，从而将几何问题代数化，用解析法解决几何问题．【典例3】 求证：△ABC的三条高AD，BE，CF相交于一点．素养三 模型再现的素养
建立数学模型，研究实际问题，再现模型时利用相关模型知识建模解决相应问题，例如直线参数方程中t的意义这一模型．课件23张PPT。参数方程第二讲讲末复习方案用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量．考法一 用参数方程求动点的轨迹方程1．参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x，y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．
2．在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．考法二 参数方程与普通方程的互化及应用考法三 圆的参数方程及其应用考法四 直线的参数方程及其应用考法五 圆锥曲线的参数方程及其应用【真题6】 (2018·湖北武汉模拟)设P(x，y)是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤[来源:学科网ZXXK][来源:Z_xx_k.Com]
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 [来源:学_科_网Z_X_X_K]
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程
（二）、新课探析： [来源:学科网ZXXK]
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当，时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3： 求摆线 与直线的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
（五）、作业：
五、教学反思：
[来源:学科网]
第二讲 参数方程
四、渐开线与摆线
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.(φ为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B[来源:学科网]
3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是( )
A．(π，0) B．(π，1)
C．(2π，2) D．(2π，0)
解析：当φ＝π时，x＝π－sin π＝π，y＝1－cos π＝1＋1＝2，当φ＝2π时，x＝2π－sin 2π＝2π，y＝1－cos 2π＝1－1＝0，故选D.[来源:学§科§网]
答案：D
4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π C．6π D．10π
解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )[来源:学科网]
A.－1 B. C. D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
所以|AB|＝ ＝.
答案：C
二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：6
7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案：12
8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则摆线(θ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线的参数方程，只需把其中的x与y互换．
答案：(θ为参数)
三、解答题[来源:学§科§网]
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[来源:Zxxk.Com]
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是
(θ为参数)．
10．已知圆的渐开线的参数方程为(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．
解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为
(φ是参数)．
B级 能力提升
1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案：C
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．
解析：由题设得4＝4(1－cos t)得cos t＝0.
因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．
答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)
3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
(φ为参数)．
课件35张PPT。第二讲 参数方程课时跟踪检测(十三) 渐开线与摆线
一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π
C．12π D．14π
解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，
把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
2．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④
解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B. C. D.
解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝ ＝.
4.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π C．5π D．6π
解析：选C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .
解析：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ(k∈Z)，代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)，
又∵过(1,0)，∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1(k∈Z)，∴r＝(k∈Z)．
又∵r＞0，∴k∈N*.
答案：(φ为参数，k∈N*)
三、解答题
8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为(φ为参数)．
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0，
由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2(k∈Z)，
即得a＝(k∈Z)．又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N*)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
