评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1，2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
2．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )[来源:学.科.网]
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，3) D．(3，－)
解析：把(t为参数)代入x2＋y2＝16中，得1＋t＋t2＋3＝16，
即t2－8t＋12＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，
所以AB的中点对应的参数t＝＝4.
所以
即AB的中点坐标为(3，－)．
答案：D
3．已知某曲线的参数方程是(其中a是参数)，则该曲线是( )
A．线段 B．圆
C．双曲线 D．圆的一部分
解析：消参可得x2－y2＝1，
又|x|＝≥1，当且仅当a＝时“＝”成立，所以x≤－1或x≥1，该曲线为双曲线．
答案：C
4．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1| B．2|t1|
C.|t1| D.|t1|
解析：点P1与点P之间的距离为
＝＝|t1|.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
答案：C
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A．π B．3π
C．4π D．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
答案：D
8．曲线(t为参数)与坐标轴的交点是( )
A.、
B.、
C．(0，－4)、(8，0)
D.、(8，0)
解析：当x＝0时，t＝，而y＝1－2t，即y＝，
故曲线与y轴的交点为；
当y＝0时，t＝，而x＝－2＋5t，即x＝，故曲线与x轴的交点为.[来源:Z§xx§k.Com]
答案：B
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B．2 C. D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，
圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线l的距离d＝＝，
直线l被圆C截得的弦长为2＝2.[来源:学科网]
答案：D
10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：C
11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为( )
A．[，5] B．[－，5]
C．[－5，－] D．[－，]
解析：因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝(cos φ＋sin φ)＝sin(φ＋γ)，其中tan γ＝，所以S的取值范围是[－， ]，故选D.
答案：D
12．已知直线l的参数方程是(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l被圆所截得的弦长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由题意知，直线l的普通方程为x－y－＝0，
由极坐标与直角坐标的关系知，
圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.设直线l与圆C交于A、B两点，AB的中点为M，则在Rt△AMC中，
|AC|＝，|CM|＝＝1，
所以|AM|＝＝2，
所以|AB|＝2|AM|＝4.故截得的弦长为4.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．曲线C：(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
解析：曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，c＝ ＝，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－.
答案：3－
14．在直角坐标系Oxy中，已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为____________________．
解析：由题意知曲线C：x2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝0，由x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ得
ρ2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ.
答案：ρ＝2sin θ
15．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝对应的点的坐标为__________________．
解析：摆线方程为(φ为参数)，
将点(π，0)代入可得
得cos φ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z.
故r＝＝(k∈Z)，又r>0，所以k∈N*，
当k＝1时，r最大为，
再把φ＝代入摆线方程得
故
答案：
16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d＝＝5.
因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，
所以|AB|min＝5－2＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)求圆的直角坐标方程和一个参数方程；
(2)设P(x，y)为圆上任意点，求xy的最大值，最小值．
解：(1)圆的极坐标方程可化为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，变为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心为(2，2)，半径为.
故其一个参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可得xy＝(2＋cos θ)(2＋sin θ)＝
4＋2(sin θ＋cos θ)＋2sin θcos θ.
令sin θ＋cos θ＝t，t∈[－，]，
则2sin θcos θ＝t2－1，
则xy＝t2＋2t＋3＝(t＋)2＋1，t∈[－，]，
故当t＝－时，xy取得最小值1，
当t＝时，xy取得最大值9.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，试在椭圆上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．
解：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cos θ，sin θ)，
则点P到直线l的距离为d＝＝
，
所以当sin＝1时，d有最小值．
此时sin θ＝sin＝
sincos－cossin＝.
cos θ＝cos＝
coscos＋sinsin＝.
所以点P的坐标为，
故所求点的坐标为.
19．(本小题满分12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
20．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．
解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.
又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)将直线l的参数方程化为普通方程，
得y＝－(x－2)．
令y＝0，得x＝2，即M点的直角坐标为(2，0)．
因为曲线C为圆，圆心C的直角坐标为(0，1)，
半径r＝1，则|MC|＝.
所以|MN|≤|MC|＋r＝＋1.
故|MN|的最大值为＋1.
21．(本小题满分12分)已知直线l：(t为参数)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值，最小值．
解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为＋＝1，
则F的坐标为(－1，0)，
又直线l过点(m，0)，故m＝－1.
(2)把x＝m＋tcos α，y＝tsin α代入椭圆C的普通方程，化简得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcos α－9＝0，
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，
则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝＝，
故当sin α＝0时，|FA|·|FB|取最大值3，当sin α＝1时，|FA|·|FB|取最小值.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知两圆C1：(x－1)2＋y2＝25和C2：(x＋1)2＋y2＝1，动圆在C1内部且和圆C1相内切并和圆C2相外切，动圆圆心的轨迹为E.
(1)求E的标准方程；
(2)点P为E上一动点，点Q为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2＋|PF|2的最小值．
解：(1)设动圆圆心D(x，y)，半径为r，
由题意|DC1|＝5－r，|DC2|＝1＋r，
所以|DC1|＋|DC2|＝6>|C1C2|＝2，
所以D点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
其中2a＝6，c＝1，
所以a＝3，b2＝a2－c2＝8，
故D点的轨迹方程为＋＝1.
(2)易知F(1，0)，由点P在E上，设P(3cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)．
则|PF|2＝(3cos θ－1)2＋(2sin θ)2＝
9cos2θ－6cosθ＋1＋8sin2θ＝cos2θ－6cos θ＋9.
|PO|2＝(3cos θ)2＋(2sin θ)2＝cos2θ＋8，
故|PF|2＋|PO|2＝2cos2θ－6cos θ＋17＝
2＋，
因为cos θ∈[－1，1]，当cos θ＝1时，|PF|2＋|PO|2取最小值为13.
模块检测卷(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.，(k∈Z)
解析：选D ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又
∴
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
即点M的极坐标为，(k∈Z)．
2．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r(θ是常数)与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：选B 圆心到直线的距离d＝＝|r|＝r，故相切．
3．方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．双曲线 B．双曲线的上支
C．双曲线的下支 D．圆
解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4.
又注意到2t>0,2t＋2－t≥2＝2，即y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
4．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )
A. B. C. D.
解析：选B ?
把直线代入x2＋y2＝9，
得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0，
|t1－t2|＝＝＝，
弦长为|t1－t2|＝.
5．极坐标ρ＝cos表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
解析：选D 法一：由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得
ρ2＝ρcos＝ρ＝(ρcos θ＋ρsin θ)，
化为直角坐标方程得x2＋y2＝(x＋y)，故方程ρ＝cos表示圆．
法二：极坐标方程ρ＝2acos θ表示圆，而－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ＝cos表示圆．
6．柱坐标P转换为直角坐标为( )
A．(5,8,8) B．(8,8，5) C．(8，8,5) D．(4,8，5)
解析：选B 由公式得即P点的直角坐标为(8,8，5)．
7．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：选C 由?y2－＝1，两条渐近线的方程是y＝±x，
所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
8．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝
4cos2θ＋2bsin θ＝－2＋4＋，
当0当b≥4时，(x2＋2y)max＝－2＋4＋＝2b.
9．若直线y＝x－b与曲线(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋ ]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
解析：选D 将参数方程
化为普通方程(x－2)2＋y2＝1.依题意得，圆心(2,0)到直线y＝x－b，
即x－y－b＝0的距离小于圆的半径1，
则有＜1，|2－b|＜，－＜2－b＜，
即2－＜b＜2＋.
10．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：选C 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
11．已知过曲线(θ为参数且0≤θ≤)上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设P(3cos θ，5sin θ)，则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ＝9＋16sin2θ＝13，
得sin2θ＝.又0≤θ≤，∴sin θ＝，cos θ＝.
∴x＝3cos θ＝，y＝5sin θ＝，∴P点坐标为.
12．设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A 令y＝0得：sin θ＝0，∴cos θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos θ，sin θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，则大圆被小圆截得的劣弧的长________．
解析：设O1的参数方程为：(0≤θ＜2π)，
将上式代入圆O的方程得：
(3＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝9.整理得cos θ＝－，
∴θ1＝，θ2＝.∠MO1N＝－＝.
∴的长为：3·＝π.
答案：π
14．(江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
答案：ρcos2θ－sin θ＝0
15．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x>0)，
联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标就是此方程的根，∴x1＋x2＝5，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，得点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5sin (φ－θ)－13|φ为锐角且tan φ＝.
从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值.
19．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos (θ－)＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为ρ2－4ρ(cos θcos ＋sin θsin )＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．
设cos θ＝，sin θ＝，
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)·(2＋sin θ)
＝4＋2(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ
＝3＋2(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②
设t＝cos θ＋sin θ，则t＝sin (θ＋)，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时xy有最小值为1；
当t＝时，xy有最大值为9.
20．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
21．(福建高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
22．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解：(1)由已知可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
A，B2cos，2sin，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52]．
阶段质量检测（二） A卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知曲线的方程为(t为参数)，则下列点中在曲线上的是( )
A．(1,1) B．(2,2) C．(0,0) D．(1,2)
解析：选C 当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0,0)在曲线上．
2．(北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
解析：选B 曲线(θ为参数)的普通方程为
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1,2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.
3．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1| B．2|t1| C.|t1| D.|t1|
解析：选C ∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，
∴|P1P|＝＝＝|t1|.
4．已知三个方程：①②
③(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
解析：选B ①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.
5．参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
A．一条射线 B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线
解析：选B 因为x＝t＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
即x≤－2或x≥2，故是两条射线．
6．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝( )
A．－3－5 B．－3＋5 C．－3＋ D．－3－
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴
由①得：cos θ＝，又π≤θ＜2π.
∴sin θ＝－＝－，∴tan θ＝－.
∴a＝5·(－)－3＝－3－5.
7．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
解析：选C 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·|t|＝，解得t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．
8．若圆的参数方程为(θ为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．
9．设F1和F2是双曲线(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是( )
A．1 B. C．2 D．5
解析：选A 方程化为普通方程是－y2＝1，∴b＝1.
由题意，得
∴2|PF1|·|PF2|＝4b2.
∴S＝|PF1|·|PF2|＝b2＝1.
10．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sin θ和cos θ，则点(a，b)的轨迹是( )
A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧
解析：选D 由题知即
a2－2b＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.
又|θ|≤.∴表示抛物线弧．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，＝1，∴k＝±.
答案：±
12．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：由直线l的参数方程(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程：y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.
答案：3
13．已知点P在直线(t为参数)上，点Q为曲线(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于________．
解析：直线方程为3x－4y－5＝0，由题意，点Q到直线的距离
d＝＝，
∴dmin＝，即|PQ|min＝.
答案：
14．(天津高考)已知抛物线的参数方程为
(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，
在Rt△EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)求曲线C1：(t为参数)被直线l：y＝x－所截得的线段长．
解：曲线C1：得t＝，代入①，化简得x2＋y2＝2x.
又x＝≠0，
∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．
圆C1的圆心到直线l：y＝x－的距离d＝＝.
所求弦长为2＝.
16．(本小题满分12分)已知实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，求t＝x＋y的最大值．
解：方程x2＋(y－1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
∴其参数方程为
∴t＝x＋y＝cos θ＋sin θ＋1
＝sin(θ＋)＋1
∴当sin (θ＋)＝1时tmax＝＋1.
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋＝1.因此C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.
18．(本小题满分12分)舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,2)．设海中动物为P(x，y)．
因为|BP|＝|CP|，
所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝(x＋7)．
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1.从而得P(8,5)．
设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝，
∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′，(如图)．|PA|＝10，设弹道曲线方程是
(其中θ为仰角)
将P(10,0)代入，消去t便得sin 2θ＝，θ＝30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
19．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t是参数)，C：(θ是参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t是参数)距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M.
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|.
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P的轨迹的参数方程为，(θ为参数，且0≤θ≤2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
阶段质量检测（二）B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0) C. D.
解析：选C 由y＝cos 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．直线x＋y＝0被圆(θ为参数)截得的弦长是( )
A．3 B．6 C．2 D.
解析：选B 圆的普通方程为x2＋y2＝9，半径为3，直线x＋y＝0过圆心，故所得弦长为6.
3．过点(3，－2)且与曲线(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 化为普通方程是：＋＝1，焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
4．直线(t为参数)的斜率是( )
A．2 B. C．－2 D．－
解析：选C 由
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
6．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3) B．点(2,0) C．点(1,3) D．点
解析：选B 令x＝2cos θ，y＝3sin θ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：＋＝1，∴曲线过点(2,0)．
7．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4 C.＋ D．2
解析：选D 椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，
x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
8．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A. B. C. D.或
解析：选D 直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2?tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
9．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋ B．5＋ C．5 D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为(θ为参数)，
x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋.
10．曲线(θ为参数)的图形是( )
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－a，－a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段
D．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
解析：选D 显然y＝x，而x＝asin θ＋acos θ＝asinθ＋，－|a|≤x≤|a|.
故图形是以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为______________．
解析：双曲线的普通方程为－x2＝1，
由－x2＝0，得y＝±2x，即为渐近线方程．
答案：y＝±2x
12．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为________．
解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋24sin θcos θ＋16cos 2θ＋16sin 2θ－24sin θcos θ＋9cos 2θ＝25，所以圆的半径为5.
答案：5
13．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：(s为参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：直线l可化为x＋y－2＝0，①
曲线C可化为y＝(x－2)2，②
联立①②消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝·
＝|x1－x2|＝.
答案：
14．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，又由得x2＋y2＝2.
由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过和时，求点M的坐标．
解：由摆线方程可知：
φ＝时，xM＝r，yM＝r，
∴M点坐标为.
φ＝时，xM＝r(7π＋2)，yM＝r，
∴点M坐标为.
16．(本小题满分12分)求直线(t为参数)被曲线ρ＝cos所截的弦长．
解：将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，
圆心C，
半径为，圆心到直线的距离d＝，
弦长＝2＝2＝.
17．(本小题满分12分)已知某曲线C的参数方程为，(其中t是参数，a∈R)，点M(3,1)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．
解：(1)由题意可知有故∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为
由第一个方程得t＝代入第二个方程得y＝()2，
即(x－1)2＝4y为所求方程．
18．(本小题满分12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2－t＋9＝0，∴tM＝＝，
则xM＝，yM＝，中点坐标为M.
(2)设切线方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，
整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0，
cos α＝0或tan α＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－＝3sin α－5cos α，
由cos α＝0得t1＝3，由8cos α－15sin α＝0，
解得可得t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.
19．(本小题满分12分)在双曲线x2－2y2＝2上求一点P，使它到直线x＋y＝0的距离最短，并求这个最短距离．
解：设双曲线－y2＝1上一点P(sec α，tan α)0≤α＜2π，且α≠，α≠，
则它到直线x＋y＝0的距离为d＝＝.
于是d2＝，化简得，
(1＋2d2)sin2α＋2sin α＋2(1－d2)＝0.
∵sin α是实数，
∴Δ＝(2)2－8(1＋2d2)(1－d2)≥0，∴d≥.
当d＝时，sin α＝－，
∴α＝或，这时x0＝sec＝－2，y0＝tan＝1.
或x0＝sec＝2，y0＝tan ＝－1.
故当双曲线上的点P为(－2,1)或(2，－1)时，
它到直线x＋y＝0的距离最小，这个最小值为.
20．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
得相交弦方程x＋y－2＝0，
联立得解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
