课件12张PPT。坐标系第一讲讲末复习方案利用平面直角坐标系解决几何问题应注意：
(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．
(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．考法一 平面直角坐标系的应用考法二 平面直角坐标系下图形的变换曲线的极坐标方程的求法如下：
(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0
如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
(2)由于平面上的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形成，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
(3)求轨迹方程有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．考法三 求曲线的极坐标方程考法四 极坐标与直角坐标的互化【真题4】 (2018·湖北八校联考)C1：ρ＝2cos θ－4sin θ，C2：ρsin θ－2ρcos θ＋1＝0
(1)将C1的方程化为直角坐标方程；
(2)求曲线C1与C2两交点之间的距离．评估验收卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：M的极坐标为，(k∈Z)，取k＝－1得.
答案：D
2．圆ρ＝2cos的圆心为( )
A. B.
C. D.
解析：由ρ＝2cos得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
所以x2＋y2＝x－y，
所以＋＝1，
圆心的直角坐标为，极坐标为.
答案：D
3．将y＝sin x的图象横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为( )
A．y＝2sinx B．y＝sin 2x
C．y＝2sin 2x D．y＝sin x
解析：[来源:学,科,网Z,X,X,K]
答案：D
4．点A的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(－2，2，－2) B．(－2，2，2)
C．(－2，－2，2) D．(2，2，－2)
解析：
答案：A
5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点坐标对称
C．重合
D．关于直线θ＝对称
解析：因为点(－ρ，π－θ)与点(ρ，－θ)为同一个点，它与(ρ，θ)关于极轴所在的直线对称．
答案：A
6．直角坐标B化为柱坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：因为ρ＝＝2，tan θ＝－，θ角的终边过点(－3，，0)，故θ＝，所以化为柱坐标为.
答案：C
7．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为( )
A．ρ＝－4cos θ B．ρcos θ－1＝0
C．ρsin θ＝－ D．ρ＝－sin θ
解析：设M(ρ，θ)为直线上除以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos ，则ρcos θ＝1，经检验符合方程．
答案：B
8．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )
A.－1 B.－1
C．1 D.
解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即－1.
答案：A
9．在极坐标系中，直线ρcos θ＝1与圆ρ＝cos θ的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不经过圆心
C．相离
D．相交且直线经过圆心
解析：直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cos θ，即ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即＋y2＝与直线x＝1相切．
答案：A
10．极坐标系方程θ＝，θ＝(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，
射线θ＝，θ＝(ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形面积是阴影扇形的面积：×42×＝.
答案：B
11．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：点M的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为(－，－)，再化为极坐标为.
答案：A
12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离等于2，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为ρsin θ＋ρcos θ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，
由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2.[来源:Zxxk.Com]
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，已知点A，B，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．
解析：因为A，B，所以∠BOA＝，
又因为|OA|＝2，|OB|＝，所以|AB|＝，
所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________．
解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得x2＋y2＋y2＝2，即＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋sin θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9和y＝0，
所以弦长＝2＝2×＝2.
答案：2
16．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sin θ与C2：ρ＝2cos θ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．
解析：曲线C1：ρ＝2sin θ即ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C1(0，1)；
曲线C2：ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C2(1，0)；
线段AB的垂直平分线即两圆心所在的直线C1C2，
直角坐标方程为x＋y－1＝0，
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
答案：ρsin＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径[来源:学科网ZXXK]
PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．
解：法一 设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，
则PC＝R＝.
由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos＝5.
化简，得ρ2－4ρcos－1＝0，
此即为所求的圆C的方程．
法二 将圆心C化成直角坐标为(1，)，
半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入化简，
得ρ2－4ρcos－1＝0，
此即为所求的圆C的方程．
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得·3ρsin θ＋ρsin θ＝×3×1×sin 2θ，化简得ρ＝cos θ.所以Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ.
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，
得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，
即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆心到直线的距离d＝＝>，
所以曲线C1与C2相离．
21．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，点A关于极轴的对称点为B.
(1)求点B的极坐标和直线AB的极坐标方程；
(2)求△AOB外接圆的极坐标方程．
解：(1)在极坐标系中，O为极点，点A关于极轴的对称点为B.
则|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝，
故点B的极坐标为，k∈Z.
由于直线AB的直角坐标方程为x＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＝1.
(2)如图，△AOB外接圆的圆心C在极轴上，且CA＝CO，∠AOC＝.
故△AOC为等边三角形，
于是C(2，0)，半径r＝2，△AOB外接圆的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
所以ρ2＝4ρcos θ，故ρ＝4cos θ为所求．
22．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．
解：如图所示，(1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，在△OCM中，|CM|＝1，
∠COM＝，
根据余弦定理得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos，化简整理得ρ2－6·ρ·cos＋8＝0，即为所求圆C的极坐标方程．
(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①
设P(ρ，θ)，则|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3或
|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ1＋ρ)＝2∶3.
当ρ1＝ρ时，又θ1＝θ，即
代入①得ρ2－6·ρ·cos＋8＝0，整理得
ρ2－15ρcos＋50＝0，即为所求P点的轨迹方程．[来源:学科网]
当ρ1＝2ρ时，又θ1＝θ－π，
同理可得ρ2＋3ρ·cos＋2＝0.[来源:Zxxk.Com]
所以点P的轨迹方程为ρ2－15ρcos＋50＝0或ρ2＋3ρcos＋2＝0.
模块检测卷(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
2．柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A．(，－1,1) B．(，1,1) C．(1，，1) D．(－1，，1)
解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA|的最小值是( )
A．0 B. C.＋1 D.－1
解析：选D A的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝，则|PA|min＝－1.
4．直线(t为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A．105° B．75° C．15° D．165°
解析：选A 参数方程?
消去参数t得，y－cos θ＝－tan 75°(x－sin θ)，
∴k＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°.
故直线的倾斜角是105°.
5．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选D 把参数方程化为普通方程得－x2＝1，渐近线方程为y＝±2x.
6．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
解析：选A ∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x表示圆．
∵∴y＋3x＝－1表示直线．
7．已知点P的极坐标为(π，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A．ρ＝π B．ρ＝cos θ C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选D
设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，
由图形知|OM|cos∠POM＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝.
8．直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cos θ相交，则k满足的条件是( )
A．k≤－ B．k≥－
C．k∈R D．k∈R且k≠0
解析：选A 由题意可知直线l过定点(0，－2)，曲线C的普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时＝1，得－k＝.若满足题意，只需－k≥.
即k≤－即可．
9．参数方程(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
解析：选D 由y＝cos2＝＝，可得sin θ＝2y－1，由x＝得x2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y，
又x＝∈[0，]．∴表示抛物线的一部分，且过点.
10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝|OQ|·|yP|＝×1×＝.
11．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝且3－<，故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点．
12．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，O为原点，则△BOC的面积为( )
A．2 B. C. D.
解析：选C ?(t′为参数)．
代入x2＋y2＝8，得t′2－3t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′1－t′2|＝＝＝，
弦心距d＝ ＝，S△BCO＝|BC|·d＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．将参数方程(t为参数)转化成普通方程为________．
解析：参数方程变为∴－＝4，∴－＝1.
答案：－＝1
14．在极坐标中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
解析：直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得2＝2 ＝4.
答案：4
15．(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析：曲线C的普通方程为：x2＋y2＝ ( cos t)2＋( sin t)2＝2(cos2t＋sin2t)＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为－1，由点斜式可得直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，可得l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
答案：ρsin＝
16．(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①
化为普通方程为y2＝x3，②
①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，
故|AB|＝16.
答案：16
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以
即从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.
19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y2－6ysin θ－2x－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x，y)，则有
消去θ得顶点轨迹是椭圆＋＝1.
(2)联立
消去x，得y2－6ysin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.
弦长|AB|＝|y1－y2|＝4，
当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.
20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小值？并求出这个最小值．
解：由题意，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，C，D.
则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)
＝＋＋＋＝.
∴当sin22θ＝1即θ＝或θ＝时，两条直线的倾斜角分别为，时，|AB|＋|CD|有最小值16.
21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)．求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2.
22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.
阶段质量检测（一）A卷
一、选择题
(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：选B x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．
2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P，Q(2，π)，则有( )
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P，Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P，Q都在曲线C上
解析：选C 当θ＝时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q在曲线上．
3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 将代入y＝sin x，得μy＝sin λx，
即y＝sin λx，与y＝2sin 3x比较，得μ＝，λ＝3，
即变换公式为
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( )
A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解析：选B 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即(y－2)2＋x2＝4.
5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为( )
A．100 B．120
C．160 D．240
解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
7．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2 D．2
解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝＝＝2.
8．极坐标方程θ＝，θ＝π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为－＝.
∴扇形面积为：×4××4＝.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．θ＝轴对称 B．θ＝轴对称
C.中心对称 D．极点中心对称
解析：选B ρ＝4sin可化为ρ＝4cos，可知此曲线是以为圆心的圆，故圆关于θ＝对称．
10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )
A.－1 B.－1
C．1 D.
解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝，设所求的弦长为l，则12＝2＋2，解得l＝.
答案：
12．点A的直角坐标为，则它的球坐标为________．
解析：r＝＝6.cos φ＝＝，
∴φ＝.tan θ＝＝，∴θ＝.
∴它的球坐标为.
答案：
13．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2，
故A′的极坐标可以是.
答案：
14．已知直线l的方程为y＝x＋1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径 ρ＝________.
解析：直线l的方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；(2)＋＝1.
解：由伸缩变换得 ①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，
双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图(2)所示．
16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A，B，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．
解：对于点A，直角坐标为(，)，点B的直角坐标为(－，－)，
设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，
∴·＝0，
即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0，
∴x2＋y2＝4.①
又||2＝||2，
于是(x－)2＋(y－)2＝(x＋)2＋(y＋)2，
∴y＝－x，代入①，得x2＝2，
解得x＝±.
∴或
∴点C的直角坐标为(，－)或(－，)，
∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或，
∴点C的极坐标为或.
17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，
即有＝1，解得a＝－8或a＝2.
故a的值为－8或2.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.
又∵ρ＝12cos，
∴ρ2＝12ρ，
∴x2＋y2－6x－6y＝0，
∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
19．(本小题满分12分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′(，0)，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由解得
(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解：(1)将
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
阶段质量检测（一） B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0) B．(π，2π)
C．(－π，0) D．(－2π，0)
解析：选A x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．
2．在极坐标系中，已知A、B，则OA、OB的夹角为( )
A. B．0
C. D.
解析：选C
如图所示，夹角为.
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y＝cos x B．y＝3cos
C．y＝2cos D．y＝cos 3x
解析：选A 由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′.
∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.
4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B. C．(1,0) D．(1，π)
解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
5．曲线θ＝与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B. C．3 D．6
解析：选C 极坐标方程θ＝，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C，∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos ＝6×＝3.
6．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A. B. C. D.
解析：选A 法一：点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为，即.
法二：点M的直角坐标为＝－，－，
直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，
点关于直线y＝x的对称点为－，－，
再化为极坐标即.
7．极坐标方程ρsin2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析：选C 由ρsin2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0，
∴化为直角坐标方程是y2－2x＝0，即x＝y2，表示抛物线．
8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，
即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )
A. B. C．2 D．2
解析：选B 圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，
∴|CD|＝.
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D.ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsin＝－2rsin θcos ＋cos θsin ＝－r(sin θ＋cos θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin θ＋ρcos θ)
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程为________．
解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0，
取θ－α＝.
答案：θ＝＋α
13换题内容
13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________．
12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－≤k≤.
答案：
13．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由得
由得即
∴点M的直角坐标为，球坐标为.
答案：
14．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A为，半径为1的圆的极坐标方程．
解：在极坐标系中，设点P(ρ，θ)是圆上任意一点，则有
r2＝OP2＋OA2－2OP·OA·cos，
即1＝ρ2＋1－2ρcos.
即ρ2－2ρcos＝0为所求圆的极坐标方程．
16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ，
化为普通方程为x2＋y2＝－2x，
即(x＋1)2＋y2＝1表示圆，
圆心为(－1,0)，半径为1.
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0，
∵圆心(－1,0)到直线的距离为＝＞1，
∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点(m＞0)到直线ρcos＝2的距离．
解：将直线极坐标方程化为ρcos θcos ＋sin θsin ＝2，化为直角坐标方程为x＋y－4＝0，
点的直角坐标为，
∴点到直线x＋y－4＝0的距离为＝＝|m－2|.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
解：(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，
由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，
所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，
则Q的直角坐标方程为2＋2＝.
19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC
＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)∵ρcos＝1，
∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.
又∴x＋y＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.
∴M(2,0)，N.
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.
(2)M、N连线的中点P的直角坐标为，
直线OP的极角为θ＝.
∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
