课件24张PPT。坐标系第一讲1.2 极坐标系2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取___________为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)要点一 极坐标系的建立逆时针方向 对于平面上任意一点M，用 ρ表示线段OM的长度，用 θ表示从Ox到OM 的角度，ρ叫做点M的___________， θ叫做点M的___________，有序数对(ρ，θ)就叫做M的___________．
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0；当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角为任意角．要点二 极坐标系内一点的极坐标极径 极角 极坐标 1．互化前提：极点与直角坐标系的___________；极轴与直角坐标系的x轴的______________；
两种坐标系中取_____________________．
2．互化公式：直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：要点三 极坐标与直角坐标的互化原点重合 正半轴重合 相同的长度单位 ρcos θ
ρsin θ考点一 极坐标系中的点的极坐标
求点的极坐标的注意点
与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画平面上点的位置的一种方法．在极坐标系中，点的坐标为(ρ，θ)，在ρ≥0，0≤θ<2π的前提下，平面的点与有序数组(ρ，θ)是一一对应的，如果没有上述限制条件，那么一个点的极坐标有无穷多个．思维导引：从题目中得到信息：A点极坐标，作出极坐标系，确定点A的位置，想一想极轴，直线l，极点的位置，作出点A关于它们的对称点，极径变了没有？极角是什么？最后写出它们的极坐标．B 考点二 将点的极坐标化为直角坐标
考点三 将点的直角坐标化为极坐标
(1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式；
(2)注意极径和极角的取值范围．【变式3】 若以极点原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)．考点四 极坐标系中两点之间的距离
思维导引：直接利用两点间的距离公式求解．二 极坐标系
课题：1、极坐标系的的概念
教学目的：
知识目标：理解极坐标的概念[来源:学#科#网Z#X#X#K]
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
二、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 ( 表示线段OM的长度，用 ( 表示从OX到OM 的角度，( 叫做点M的极径， (叫做点M的极角，有序数对（(，(）就叫做M的极坐标。[来源:学.科.网]
特别强调：由极径的意义可知(≥0;当极角(的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（(，(）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径(=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径(允许取负值，极角(也可以去任意的正角或负角
当(＜0时，点M （(，(）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （(，(）也可以表示为
4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）
A（4，0）B（2 ）C（ ）[来源:学科网ZXXK]
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，[来源:学#科#网]
点的极坐标的表达式的研究
例2 在极坐标系中，(1)已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
(2)已知M的极坐标为（(，(）且(=，(，说明满足上述条件的点M 的位置。
变式训练
1、若的的三个顶点为
2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）
例3 已知Q（(，(），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
P是点Q关于极点O的对称点；
P是点Q关于直线的对称点；
P是点Q关于极轴的对称点。[来源:Z+xx+k.Com]
变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。
五、课后作业：
六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。
课题：2、极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？[来源:Z.xx.k.Com]
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
三．举例应用：
例1．（1）把点M 的极坐标化成直角坐标
（2）把点P的直角坐标化成极坐标
变式训练
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例2.若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
已知A的极坐标求它的直角坐标,[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学科网]
已知点B和点C的直角坐标为
求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
例3.在极坐标系中,已知两点.
求A,B中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一条直线上.
四、巩固与练习：课后练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；
2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
五、课后作业：
六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。但教学时间不足。
[来源:Z。xx。k.Com]
第一讲 坐标系
二、极坐标
A级 基础巩固
一、选择题
1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：ρ＝2，tan θ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，
故取θ＝－，所以点P的极坐标为.
答案：C
2．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.
答案：A
3．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意可知△ABC如图所示，显然OC⊥AB，|OC|＝2，∠COx＝＋＝，
所以C.
答案：C
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
答案：B
5．极坐标系中，O为极点，已知A，B，则|AB|等于( )
A．4 B．4 C．2 D．2
解析：由A，B知∠AOB＝－＝，
又|OA|＝|OB|＝4，
故△AOB为等边三角形，故|AB|＝4.
答案：B
二、填空题
6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．
解析：因为A，B两点的极坐标为，，
所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，
所以线段AB中点的直角坐标是.
答案：
7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．
解析：点B的极坐标可表示为，
则∠AOB＝－＝，
故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin ＝3.
答案：3
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案：3
三、解答题
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)．
(1)(，3)；
(2)(－1，－1)；[来源:学科网ZXXK]
(3)(－3，0)
解：(1)ρ＝＝2，tan θ＝＝.
又因为点在第一象限，所以θ＝.
所以点(，3)的极坐标为.
(2)ρ＝＝，tan θ＝1.
又因为点在第三象限，所以θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为.
(3)ρ＝＝3，
可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π)．
10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)]．
解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝，故C.
又|OA|＝600×cos ＝300，
|OD|＝600×sin ＝300，[来源:学,科,网]
|OE|＝300，|OF|＝300，|OG|＝150.
故A(300，0)，D，E，
F(300，π)，G.
B级 能力提升
1．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：因为ρ＝－2<0，[来源:学科网]
所以找点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是，如图所示．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案：B
2．在极坐标系中，定点A，点B的一个极坐标为(ρ>0)，当线段AB最短时，点B的极坐标为__________________．
答案：(k∈Z)
3．舰A在舰B的正东方向6 km处，舰C在舰B的北偏西
30°方向4 km处，它们围捕海洋动物．某时刻舰A发现动物的信号，4秒后舰B，舰C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求动物所处位置的极坐标．[来源:学科网]
解：对舰B而言，A，C两舰位置如图所示，取A，B所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A，B，C三舰的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)．
由于B，C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则|PB|＝|PC|.
于是点P在BC的中垂线l上，
易求得其方程为x－3y＋7＝0.[来源:Z.xx.k.Com]
又由A，B两舰发现动物信号的时间差为4秒知
|PB|－|PA|＝4，
于是知P应在双曲线－＝1的右支上．直线l与双曲线的交点P(8，5)即为动物的位置．
根据两点的斜率公式得直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.
由两点间的距离公式得|PA|＝10.
所以以舰A所在地为极点，动物所处位置的极坐标为.
课件46张PPT。第一讲 坐标系课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系
一、选择题
1．在极坐标平面内，点M，N，G，H中互相重合的两个点是( )
A．M和N B．M和G
C．M和H D．N和H
解析：选A 由极坐标的定义知，M，N表示同一个点．
2．将点M的极坐标化成直角坐标是( )
A．(5,5) B．(5，5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
解析：选A x＝ρcos θ＝10cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5.
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
5．点关于极点的对称点为________．
解析：如图，易知对称点为.
答案：
6．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝＝.
答案：
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴的夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
三、解答题
8．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，因为A，
所以 ＝5，
即r2－8r＋7＝0.
解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
解：(1)ρ＝＝2.tan θ＝＝.
又因为点在第一象限，
所以θ＝.
所以点(，3)的极坐标为.
(2)ρ＝＝，tan θ＝1.
又因为点在第三象限，
所以θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为.
(3)ρ＝＝3，画图可知极角为π，
所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
10．已知定点P.
(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，
如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，
∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，
∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.
∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.
第3节：极坐标系
教学目的：
知识目标：理解极坐标的概念
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
二、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 ( 表示线段OM的长度，用 ( 表示从OX到OM 的角度，( 叫做点M的极径， (叫做点M的极角，有序数对（(，(）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知(≥0;当极角(的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（(，(）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径(=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径(允许取负值，极角(也可以去任意的正角或负角
当(＜0时，点M （(，(）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （(，(）也可以表示为
4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一的表达式
规定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，
点的极坐标的表达式的研究
例2 在极坐标系中，
已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
已知M的极坐标为（(，(）且(=，(，说明满足上述条件的点M 的位置。
变式训练
1、若的的三个顶点为
2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）
例3 已知Q（(，(），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
P是点Q关于极点O的对称点；
P是点Q关于直线的对称点；
P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。
三、小 结：本节课学习了以下内容：
1、极坐标系的建立：
2、极坐标系内一点的极坐标的规定；
3、负极径的规定。
四、课后作业：
第4节：极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3 化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三、数学应用
例1（1）把点M 的极坐标化成直角坐标；
（2）把点P的直角坐标化成极坐标。
变式训练
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例2若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
已知A的极坐标求它的直角坐标,
已知点B和点C的直角坐标为
求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
例3在极坐标系中,已知两点.
求A,B中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点.
判断三点是否在一条直线上.
四、小 结：本节课学习了以下内容：
平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
五、课后作业：
