2.1 认识无理数学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第二章　实　数
1　认识无理数
要 点 讲 解
要点一　非有理数的存在
1. 整数和分数统称为有理数.
2. 随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数.
经典例题1　以下各正方形的边长不是有理数的是(　　　)
A. 面积为49的正方形 B. 面积为的正方形
C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.21的正方形
解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝，而＝()2，所以a＝；由D项得a2＝1.21，而 1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方.
答案：C
要点二　估计数值的大小
用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值.方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数.
经典例题2　已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是xcm.
(1)估计x在哪两个整数之间.
(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值.如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值.
解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推.
解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.
(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间.
(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.
又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，
所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，
所以精确到百分位时，x≈10.30.
点拨：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想.
要点三　无理数的概念
1. 无限不循环小数称为无理数.例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数.再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数.
2. 无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数.事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
3. 小数的分类：小数
经典例题3　，0.0，－，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是(　　　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
解析：－，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，，0.0，2.3131131113是有理数.
答案：A
点拨：π是无限不循环小数，是无理数，－不是分数，是一个无理数.
易错易混警示　错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数
π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据.
经典例题4　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－，345.20，.
解：有理数：－，345.20；
无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，.
当 堂 检 测
1. 下列各数中，是无理数的是(　　)
A. －1 B. 0 C. π D.
2. 在等式x2＝7中，下列说法中正确的是(　　)
A. x可能是整数 B. x可能是分数
C. x可能是有理数 D. x是无理数
3. 下列说法正确的是(　　)
A. 分数是无理数 B. 无限小数是无理数
C. 不能写成分数形式的数是无理数 D. 不能在数轴上表示的数是无理数
4. 在，3.1415926，0.9090090009…(每两个9之间0的个数逐次加1)，0.8，3π中，无理数有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 半径为20的圆的面积是(　　)
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数
6. 在数，0，3.，－，，0.232332…(2个2之间依次多1个3)，32中，有理数有 　，无理数有 .
7. 已知半径为1的圆.
(1)它的周长l是有理数还是无理数？说说你的理由；
(2)估计l的值；(结果精确到十分位)
(3)如果结果精确到百分位呢？
8. 如图所示，把16个边长为1cm的正方形拼在一起.
(1)连接A和B，C，D的线段，哪几条是无理数？请说明理由；
(2)判断△BCD是什么三角形？请说明理由.
当堂检测参考答案
1. C 2. D 3. C 4. B 5. D
6. ，0，3.，－，32 ，0.232332…(2个2之间依次多1个3)
7. 解：(1)它的周长l＝2π是无理数，理由如下：2π是无限不循环小数.　
(2)结果精确到十分位，2π≈6.28≈6.3.　
(3)结果精确到百分位，2π≈6.283≈6.28.
8. 解：(1)AC，AD的长是无理数，理由如下：因为AC2＝10，AD2＝13，AC，AD的长既不是整数，也不是分数，所以AC，AD的长是无理数.　
(2)△BCD是等腰三角形，理由如下：因为BC2＝5，CD2＝5，BD＝2，所以BC＝CD≠BD，所以△BCD是等腰三角形.