分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.
2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.
3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.
1.分类计数原理与分步计数原理
(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+mn种不同的方法
注意：分类计数原理又称为加法原理；
弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；
解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；
每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).
(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
注意：分步计数原理又称为乘法原理；
弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；
解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；
每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.
2.分类计数原理和分步计数原理的区别
辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。
类型一 分类计数原理
例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？
[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.
练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有( )种
A.3 B.5 C.9 D.12
[答案] Ｃ
[解析] 只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.
练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（ ）
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
[答案] A
[解析] 按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每类中只有一种分法.
类型二 分步计数原理
例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
[解析] 从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同的选法数是：N=3×2=6.
练习1：有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有( )
A.43种 B.34种 C.12种 D. 24种
[答案] Ａ
[解析] 第一步,100 m冠军有4种可能;第二步,800 m冠军也有4种可能;第三步,1 500 m冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有4×4×4=43种可能.
练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有( )种
A.53 B.35 C.15 D.5
[答案] Ｂ
[解析] 第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法……第5封信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有3×3×3×3×3=35种方法.
类型三 分类计数原理与分步计数原理的区别
例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问：
(1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？
[解析] (1)分三类：第一类从国画中选一幅，共5种；第二类从油画中选一幅，共有2种；第三类从水彩画中，选一幅，共有7种，由分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分三步：第一步从国画中选一幅共5种；第二步从油面中选一幅共有2种；第三步从水彩画中选一幅共：7种，由分步乘法计数原理，共有5×2×7=70种不同的选法.
练习1：已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为( )
A.18 B.16 C.14 D.10
[答案] Ｃ
[解析] 取法可分为两类.
(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.
(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.
类型四 两个原理的综合应用
例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.
[答案] 242
[解析] 任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本，
二、取语文、英语各一本，
三、取数学、英语各一本.然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解.
取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法；
取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8 = 72种不同取法；
取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80种不同取法.
综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80=242种不同取法.
练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有( )种.
A.40 B.56 C.124 D.129
[答案] Ｄ
[解析] 取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种．
1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有( )种不同乘车方法.
A.12 B.60 C.19 D.17
[答案] C
[解析] 从A地到B地共分两类方法，第一类：直达班车4班；第二类，转车从A到C再到B，共有5×3=15种乘车方法，根据分类加法计数原理，共有4+15=19种不同的乘车方法.
2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有( )
A.64种 B.46种 C.4种 D.24种
[答案] B
[解析] 每个苹果有4种不同的投法，所以共有46种不同的投法
３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是( )
A.100个 B.90个 C.81个 D.72个
[答案] C
[解析] 要使得点不在x轴上，则纵坐标不能为0，故纵坐标上的数字只能有9种选择，纵坐标选好后，横坐标不能与之相同，故也有9种情况，故共可确定9×9=81个符合题意的点.
４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有( )
A.336种 B.120种 C.24种 D.18种
[答案] A
[解析] 我们可以一本一本的插入，先插第一本，可在原来的5本书形成的6个空中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8=336种不同的插法.
５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种.
[答案] 12
[解析] 根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的走法.
６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.
[答案] 1000
[解析] 由每个号码可取0到9中任意一个数字，有10种取法，根据分步计数原理，共有10×10×10=1000个不同的开锁号码.
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基础巩固
1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有 )
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
[答案] Ａ
2.一个包内有7本不同的故事书,另一个包内有5本不同的教科书,从两个包内任取一本的取法有( )
A.7种 B.5种 C.12种 D.35种
[答案] Ｃ
[解析] (1)从有7本不同故事书的包内任取一本书的取法有7种;(2)从有5本不同教科书的包内任取一本书的取法有5种.综上,共有12种取法．
3.从甲地到乙地每天有火车10班,汽车15班,飞机3班,轮船2班,一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地,不同的走法有( )
A.10种 B.20种 C.30种 D.40种
[答案] Ｃ
[解析] 由于每班火车、汽车、飞机、轮船都能完成从甲地到乙地这件事,因此这是一个分类问题,应采用分类计数原理,有10+15+3+2=30种,即一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地共有30种不同的走法.
4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法数为( )
A.42 B.30 C.20 D.12
[答案] Ａ
[解析] 原定的5个节目共有6个空位,将其中1个新节目插入有6种插法,然后6个节目形成7个空位,将另一新节目插入,由分步计数原理共有7×6=42种方法．
5.4名学生报名参加地理探宝、人与自然、航模课外兴趣小组,每人选报一种,则不同报名种数有( )
A.34 B.43 C.12 D.4
[答案] Ａ
6.已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为( )
A.18 B.16 C.14 D.10
[答案] Ｃ
[解析] 取法可分为两类.
(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.
(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.
7.有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有( )种.
A.40 B.56 C.124 D.129
[答案] Ｄ
[解析] 取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种.
8.用1,2,…,9九个数字,可组成的四位数共有______个,可组成的七位数共有______个.
[答案] 组成四位数:个位数有9种选法,十位数有9种选法,百位数也有9种选法,千位数同样有9种选法,根据分步计数原理,四位数共有9×9×9×9=94个.同理,七位数共有97个.故第一个空填94,第二个空填97.
能力提升
1.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
[答案] Ｃ
2.卷航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．16种 C．24种 D．36种
[答案] Ｄ
3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．9
[答案]Ｂ
4. 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
[答案]Ａ
5.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9 B．14 C．15 D．21
【答案】 B
6.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要( )
A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元
[答案] Ｄ
7.集合A、B的并集AB ={a，b，c}，当A≠B时(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A、B)对的个数有多少？
[答案] 因为AB={a，b，c}，所以对于元素a而言，有但但三种情况，同样b和c也有三种情况，由分步乘法计数原理可知，这样的集合对的个数共有3×3×3=27个.
8.已知在区间(400,800]上,问:(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数?(2)有多少个能被5整除且数字不重复的整数？
[答案] (1)分三步:第一步,排个位有2种方法;第二步,排百位有4种方法;第三步,排十位有10种方法,又考虑到800符合题意,故共有2×4×10+1=81个能被5整除,且数字允许重复的整数.
(2)分两类:第一类,当个位数字为0时,百位数字是4,5,6,7中的一个,十位是其余8个数字中的一个,此类共有4×8=32个;第二类,当个位数字是5时,百位是4,6,7中的一个,十位是其余8个中的一个,此类共有3×8=24个.故共有32+24=56个能被5整除且数字不允许重复的整数.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.
2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.
3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.
1.分类计数原理与分步计数原理
(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有___________________种不同的方法
注意：分类计数原理又称为加法原理；
弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；
解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；
每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).
(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有____________________种不同的方法.
注意：分步计数原理又称为乘法原理；
弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；
解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；
每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.
2.分类计数原理和分步计数原理的区别
辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是__________的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是___________的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。
类型一 分类计数原理
例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？
练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有( )种
A.3 B.5 C.9 D.12
练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（ ）
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
类型二 分步计数原理
例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
练习1：有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有( )
A.43种 B.34种 C.12种 D. 24种
练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有( )种
A.53 B.35 C.15 D.5
类型三 分类计数原理与分步计数原理的区别
例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问：
(1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？
练习1：已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为( )
A.18 B.16 C.14 D.10
类型四 两个原理的综合应用
例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.
练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有( )种.
A.40 B.56 C.124 D.129
1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有( )种不同乘车方法.
A.12 B.60 C.19 D.17
2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有( )
A.64种 B.46种 C.4种 D.24种
３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是( )
A.100个 B.90个 C.81个 D.72个
４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有( )
A.336种 B.120种 C.24种 D.18种
５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种.
６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.
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基础巩固
1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有 )
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
2.一个包内有7本不同的故事书,另一个包内有5本不同的教科书,从两个包内任取一本的取法有( )
A.7种 B.5种 C.12种 D.35种
3.从甲地到乙地每天有火车10班,汽车15班,飞机3班,轮船2班,一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地,不同的走法有( )
A.10种 B.20种 C.30种 D.40种
4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法数为( )
A.42 B.30 C.20 D.12
5.4名学生报名参加地理探宝、人与自然、航模课外兴趣小组,每人选报一种,则不同报名种数有( )
A.34 B.43 C.12 D.4
6.已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为( )
A.18 B.16 C.14 D.10
7.有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有 )种.
A.40 B.56 C.124 D.129
8.用1,2,…,9九个数字,可组成的四位数共有______个,可组成的七位数共有______个.
能力提升
1.(有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
2.卷航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．16种 C．24种 D．36种
3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．9
4. 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
5.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9 B．14 C．15 D．21
6.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要( )
A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元
7.集合A、B的并集AB ={a，b，c}，当A≠B时(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A、B)对的个数有多少？
8.已知在区间(400,800]上,问:(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数?(2)有多少个能被5整除且数字不重复的整数？
