2.2 平方根学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第二章　实　数
2　平方根
要 点 讲 解
要点一　算术平方根的概念与性质
1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”.
2. 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即＝0.
3. 负数没有算术平方根，也就是说，当式子有意义时，a一定表示一个非负数.
4. (a≥0)是一个非负数.
经典例题1　求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)；(3)13.
解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根.
解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20.　(2)因为()2＝，所以的算术平方根是.
(3)13的算术平方根是.
点拨：(1)在求a的算术平方根时，若a是有理数的平方，a的算术平方根就不带根号；若a不是有理数的平方，a的算术平方根就带有根号，如.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果.
要点二　平方根的概念与性质
1. 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).
2. 性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.
3. 一个正数a必有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是－，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±，读作“正、负根号a”.
经典例题2　判断下列各数是否有平方根.若有，求出其平方根；若没有，请说明理由.
(1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.
解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值.
解：(1)因为169＞0，所以169有平方根.
因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±＝±13.
(2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根.
因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±＝±1.
(3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根.
点拨：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零).
要点三　开平方
1. 定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数.
2. 开平方时，被开方数a必须是非负数.
3. 平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程.
4. 平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
经典例题3　(1)()2等于多少？
(2)()2等于多少？
(3)等于多少？
(4)等于多少？
解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果.
解：(1)()2＝42＝16.
(2)()2＝()2＝.
(3)＝＝5.5.
(4)＝＝2.
要点四　与()2(a≥0)的性质
1. ＝|a|，即当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝－a.
2. ()2＝a(a≥0).
3. a的取值范围不同，公式(1)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a的取值是非负数.
4. 运算顺序不同，公式(1)中a先平方再开平方，而公式(2)中a先开平方再平方.
经典例题4　求下列各式的值：
(1)()2；(2)；(3)(x＞2).
解析：对于与()2(a≥0)这两种形式要注意区分.
解：(1)()2＝7.
(2)＝|－7|＝7.
(3)因为x＞2，所以 2－x＜0，所以＝|2－x|＝－(2－x)＝x－2.
点拨：运用＝|a|化简时，一定要先判断出a的符号，然后才能化简.
易错易混警示　不完全理解题意而出错
若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算.如：求的平方根时，先要计算＝4，再求4的平方根.
经典例题5　的算术平方根是________.
解析：＝6，6的算术平方根是，所以的算术平方根是.
答案：
点拨：本题易将的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根.
当 堂 检 测
1. 数7的算术平方根为(　　)
A.  B. 49 C. ±49 D. ±
2. 一个数的算术平方根是，这个数是(　　)
A.  B.  C.  D. 不能确定
3. 16的平方根是(　　)
A. ±4 B. ± C. 4 D. －4
4. 下列各式中，正确的是(　　)
A. ＝－5 B. －＝－5
C. ＝－5 D. ＝±5
5. 关于平方根，下列说法正确的是(　　)
A. 任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数
B. 负数没有平方根
C. 任何一个数只有一个算术平方根
D. 以上都不对
6. 如果a，b分别是17的两个平方根，那么ab＝ .
7. 若25x2＝9，则x的值为 .
8. 求式子中x的值：
x2－16＝25.
9. 一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，求a的值和这个正数的值.
10. 已知2a－1的平方根是±3，4是3a＋b－1的算术平方根，求a＋2b的值.
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. A 4. B 5. B
6. －17
7. ±
8. 解：±
9. 解：a＝－1，这个正数为9.
10. 解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1＝9，解得a＝5.因为4是3a＋b－1的算术平方根，所以3a＋b－1＝16，所以14＋b＝16，解得b＝2，所以a＋2b＝5＋2×2＝9.