2.3 立方根学案 (要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第二章　实　数
3　立方根
要 点 讲 解
要点一　立方根的概念与性质
1. 立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根.
2. 表示方法：数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数.注意根指数“3”不能省略.
3. 立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
经典例题1　下列说法正确的是(　　　)
A. 的立方根是2 B. 的立方根是±
C. (－1)2的立方根是－1 D. －3是27的立方根
解析：因为＝8，所以的立方根是2，故A选项正确.任何数只有一个立方根，排除B选项.正数的立方根为正数，故排除C，D选项.
答案：A
要点二　开立方
1. 定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数.开立方与立方互为逆运算.
2. 重要公式：①()3＝＝a；②＝－.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面.例如：＝－＝－5.
经典例题2　求下列各数的立方根：
(1)；(2).
解：(1)＝＝0.4.
(2)＝＝－3.
要点三　立方根与平方根的区别与联系
1. 区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略.
(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根.
(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个.
2. 联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算.
(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即＝－.
经典例题3　一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________.
解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，＝±2.
答案：±2
易错易混警示　错把的立方根当成a的立方根
做开方运算时要认准被开方数，如求的立方根，被开方数是，而不是81.
经典例题4　的立方根是________.
解析：因为＝4，所以的立方根是.
答案：
点拨：本题容易把的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出＝4，再求4的立方根.
当 堂 检 测
1. 64的立方根是(　　)
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
2. 化简的结果是(　　)
A. ±3 B. －3 C. 3 D. 2
3. 下列说法中正确的是(　　)
A. －5没有立方根 B. 2的立方根是±
C. 的立方根是 D. －5的立方根是
4. 有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0.其中错误的是(　　)
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
5. 的立方根是 .
6. 一个数的平方等于，则这个数的立方根是 .
7. 若－＝，则a的值是 .
8. 求下列式子的立方根：
(1)1；　　　 (2)(－1)2021.
9. 求下列式子的值.
(1)； (2)()3.
10. 已知第一个立方体纸盒的棱长是6厘米，第二个立方体纸盒的体积比第一个立方体纸盒的体积大127立方厘米，求第二个立方体纸盒的棱长.
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. D 4. B
5. 
6. ±
7. －
8. 解：(1)原式＝.
(2)原式＝－1.
9. 解：(1)原式＝－4.
(2)原式＝－1.
10. 解：因为第一个立方体的体积是63＝216，所以第二个立方体的体积是216＋127＝343，所以第二个立方体的棱长是343的立方根，即棱长为7厘米.