第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为( )
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
解析：因为m－n＝ (2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.
所以m≥n.
答案：B
2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( )
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
解析：取a＝－2，b＝－1，则＝－1＜－＝.
所以B不成立．
答案：B
3．设a， b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b＞0 B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0
解析：当b≥0时，a＋b＜0，当b＜0时，a－b＜0，所以a＋b＜0，
故选D.
答案：D
4．(2018·浙江模拟)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝－2，b＝3时，a＋b＞0，但ab＜0；
当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，但a＋b＜0.
所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．
答案：D
5．已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.＞ B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
解析：由ax＜ay(0＜a＜1)，可得x＞y.
又因为函数f(x)＝x3在R上递增，
所以f(x)＞f(y)，即x3＞y3.
答案：D
二、填空题
6．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
解析：因为a－＝＜0，
所以a＜.
又因为a－a2＝a(1－a)＞0，
所以a＞a2，所以a2＜a＜.
答案：a2＜a＜
7．若8＜x＜10，2＜y＜4，则的取值范围是________．
解析：因为2＜y＜4，
所以＜＜.
又8＜x＜10，所以2＜＜5.
答案：(2，5)
8．设a＞0，b＞0，则＋与a＋b的大小关系是________．
解析：＋－(a＋b)＝－(a＋b)＝.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.
所以＋≥a＋b.
答案：＋≥a＋b
三、解答题
9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．
(1)若a＜b，c＜0，则＜；
(2)若ac－3＞bc－3，则a＞b；
(3)若a＞b，且k∈N*，则ak＞bk；
(4)若a＞b，b＞c，则a－b＞b－c.
解：(1)因为a＜b，没有指出ab＞0，故＞不一定成立，
因此不一定推出＜.
所以是假命题．
(2)当c＜0时，c－3＜0，有a＜b.所以是假命题．
(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取a＝2，b＝0，c＝－3满足a＞b，b＞c的条件，但是a－b＝2＜b－c＝3.所以是假命题．
10．已知a＞b＞0，比较与的大小．
解：－＝＝.
因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0.
所以＞0.
所以＞.
B级 能力提升
1．若0＜x＜y＜1，则( )
A．3y＜3x B．logx3＜logy3
C．log4x＜log4y D.＜
解析：因为函数y＝log4x是增函数，0＜x＜y＜1，
所以log4x＜log4y.
答案：C
2．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.试将a，b，c，d按照从小到大的顺序排列为__________．
解析：
??
又由d＞c，得a＜c＜d＜b.
答案：a＜c＜d＜b
3．已知＞，bc＞ad，求证：ab＞0.
证明：?
又bc＞ad，则bc－ad＞0.
由②得bc－ad＞0.
故ab＞0.
课件49张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不 等 式
1.不等式的基本性质【自主预习】
1.两个实数a,b的大小关系a-b>0 a-b=0 a-b<0 2.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b?____.
(2)传递性:a>b,b>c?____.
(3)可加性:____?a+c>b+c.b
ca>b(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______;
如果a>b,c<0,那么______.
(5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2).
(6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2).ac>bcac>【即时小测】
1.若aA.a2【解析】选A.因为a故B,C,D都正确,A错误.2.下列不等式:
(1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0,
所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0.
所以(3)正确.【知识探究】
探究点 不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性.
如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗?
提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.【归纳总结】
1.符号“?”和“?”的含义
“?”与“?”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.2.性质(3)的作用
它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+b>c?a>c-b.性质(3)是可逆的,即a>b?a+c>b+c.3.不等式的单向性和双向性
性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.4.注意不等式成立的前提条件
不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2”都需要注意.类型一 作差法比较大小
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么?
提示:常用作差比较法.【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)又m≠n,所以(m-n)2>0,
因为
所以x-y>0,故x>y.【方法技巧】作差比较法的四个步骤【变式训练】
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_________.【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,
所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系.
【解析】x3+y3-x2y-xy2
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x>0,y>0,
所以(x-y)2(x+y)≥0,
所以x3+y3≥x2y+xy2.类型二 不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
(2)c>a>b>0,则
(3)若 ,则ad>bc.
(4)设a,b为正实数,若a- 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以
得 得 > ,故正确.
(2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a所以 >0,
又a>b>0,所以 ,正确.(3)由 ,所以 >0,
即ad>bc且cd>0或ad故不正确.(4)因为a- 0,b>0,
所以a2b-b?ab(a-b)+(a-b)<0?(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项
(1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定.
(3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.【变式训练】1.下列命题中正确的是_________ .
①若a>b>0,c>d>0,那么
②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a-b).【解析】因为a>b>0,c>d>0,
所以 >0,故 ①错误.
a2+b2+5-2(2a-b)
=a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)2≥0,
所以②正确.
答案:②2.若a则
(2)成立.因为a所以 类型三 利用不等式的性质证明简单不等式
【典例】已知a>b>0,c【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么?
提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系.【证明】因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0< ,再由0所以 【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,证明: 【证明】因为c-d>0,
所以 又a>b>0,
所以
所以
同乘以-1得 2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他条件不变,证明:
【证明】因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以 又e<0,所以 【方法技巧】利用不等式性质证明简单不等式的实质与技巧
(1)实质:就是根据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成立的条件.(2)技巧:若不能直接由不等式性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.【变式训练】
1.已知a>b>0,c>d>0.求证:
【证明】因为a>b>0,所以0<
因为c>d>0,所以0<
所以 所以 所以
即 又a,c,b,d均大于0,
所以 所以 2.已知a>0,b>0,c>0,d>0,且 ,求证:
【证明】因为a>0,b>0,c>0,d>0且 ,所以ad>bc,
所以ad+cd>bc+cd,即d(a+c)>c(b+d),
所以 自我纠错 作差法比较大小
【典例】设a+b>0,n为偶数,
的大小关系为_______________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b>0且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a>0,b>0和a,b有一个负值的情况加以讨论.正确解答过程如下:【解析】
(1)当a>0,b>0时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0,(ab)n>0,(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0,
所以a>|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)>0,且(ab)n>0,故
即
综合(1)(2)可知,
答案: 课件44张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式课 题： 第01课时 不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证>即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac⑤、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)。
三、典型例题：
例1、已知a>b，cb-d．
例2已知a>b>0，c<0，求证：。
四、练习：
五、作业：
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是( )
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D.>
【解析】 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】 A
2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0 D.a2－b2<0
【解析】 a－|b|>0?|b|0.故选C.
【答案】 C
3．若aA.> B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D.>
【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．
【答案】 B
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
【解析】 ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；
又ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即b2－1＜0.又a＜0，
∴ab2－a＞0，即ab2＞a.
故ab＞ab2＞a.
【答案】 D
5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵0＜ab＜1，
当a＜0且b＜0时可推得b＞，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜”的充分条件， ①
反过来，若b＜，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜”的必要条件， ②
由①②知，应选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
【解析】 f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】 ＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出<成立的有________．(填序号)
【解析】 <?－<0?<0，
∴①②④可推出<成立．
【答案】 ①②④
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．
【解析】 设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
【答案】 [1,7]
三、解答题
9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：＞.
【证明】 (1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－＜－.又a＞b＞0，
∴－＞－＞0，
∴ ＞，即－＞－.
两边同乘以－1，得＜.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，
∴＞.
10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围．
【解】 由4≤≤9，得16≤≤81. ①
又3≤xy2≤8，∴≤≤. ②
由①×②得×16≤·≤81×，
即2≤≤27，因此的取值范围是[2,27]．
[能力提升]
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜成立，如果a＜0，则b＜0，b＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜或b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D.①②③
【解析】 由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．
【答案】 D
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
【解析】 ∵logb＝－1，
若1＜a＜b，则＜＜1＜b，
∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，
∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，
∴loga＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
【答案】 ②
4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【解】 由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝，c＝，
∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.
又∴
∴－1≤－u＋v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20].
课 题： 第01课时 不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证>即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac⑤、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)。
三、典型例题：
四、练习：
五、作业：
