第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析：当a，b都是负数时，A不成立；
当a，b一正一负时，B不成立；
当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．
答案：C
2．下列各式中，最小值等于2的是( )
A.＋ B.
C．tan θ＋ D．2x＋2－x
解析：因为2x＞0，2－x＞0，
所以2x＋2－x≥2＝2.
当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．
答案：D
3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是( )
A．10 B．6
C．4 D．18
解析：3x＋3y≥2＝2＝2＝18，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
答案：D
4．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，选B.
答案：B
5．(2018·福建模拟)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.
又a，b均大于0，
所以a＋b＝(a＋b) ＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案：C
二、填空题
6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．
解析：y＝3－≤3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．
所以ymax＝3－2.
答案：3－2
7．已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．
解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.
因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22＝4，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
答案：4
8．当x＞0时，f(x)＝的值域是________．
解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以0＜≤.
所以0＜≤1.
又因为f(x)＝＝，
所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是(0，1]．
答案：(0，1]
三、解答题
9．已知x＜0，求2x＋的最大值．
解：由x＜0，得－x＞0，
得－2x＋≥2＝2，
所以2x＋≤－2，
当且仅当－2x＝，
即x＝－时等号成立．
故2x＋取得最大值－2.
10．若a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1－c)．
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0.
所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)．
因为a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，a＋c≥2＞0，
三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2·2·2＝8abc，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．
B级 能力提升
1．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，
则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，
所以≥2或≤－4(舍去)．
所以正实数a的最小值为4.
答案：B
2．(2018·山东模拟)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
解析：因为x?y＝，
所以x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝＝.
其中x＞0，y＞0，当且仅当x2＝2y2，即x＝y时等号成立．
答案：
3．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
所以x＝3－.
当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×＋3，
当销售x万件时，年销售收入为
150%×＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，
得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－≤
50－2 ＝50－2＝42，
当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，
所以当促销费定在7万元时，年利润最大．
课件65张PPT。2.基本不等式【自主预习】
1.重要不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____
时,等号成立.≥a=b2.基本不等式
(1)定理2:如果a,b>0,那么__________.
当且仅当____时,等号成立.a=b(2)定理2的应用:对两个正实数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的
积P取得最___值;
②如果它们的积P是定值,则当且仅当____时,它们的
和S取得最___值.x=y大x=y小【即时小测】
1.已知x>3,则x+ 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.7
【解析】选D.x>3,则
当且仅当x=5时等号成立.2.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 ( )
A.x+y≥2( +1) B.xy≤ +1
C.x+y≤( +1)2 D.xy≥2( +1)【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy-
所以xy- ≥1,解得xy≥3+ .
又xy-(x+y)≤ (x+y)2-(x+y),
(x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2( +1).3.函数f(x)= 的值域为_________ .
【解析】f(x)=
答案: 【知识探究】
探究点 基本不等式
1.在基本不等式 中,为什么要求a>0,b>0?
提示:因为若a<0,b<0时,不等式显然不成立,若其中有
一个为0时,不能称 为几何平均,故要求a>0,b>0.2.若f(x)=x+ ,则f(x)的最小值为2吗?
提示:f(x)的最小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小
值才是2.【归纳总结】
1.理解基本不等式的两个关键点
一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的条件是当且仅当a=b时.2.利用 求最值的三个条件
(1)各项或各因式为正.
(2)和或积为定值.
(3)各项或各因式能取得相等的值.3.定理1与定理2的不同点
定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是a>0,b>0.4.两个不等式定理的常见变形
(1)ab≤ (2)ab≤ (a>0,b>0).
(3) ≥2(ab>0).(4)
(5)a+b≤
上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.类型一 利用基本不等式求最值
【典例】1.(2015·湖南高考)若实数a,b满足
,则ab的最小值为 ( )
A. B.2 C.2 D.4
2.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值.【解题探究】1.如何利用条件?
提示:根据 可得a>0,b>0,然后借助基本不
等式 构造关于 的不等式.
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件?
提示:由x+2y+xy=30,得y= 【解析】1.选C.因为 ,所以a>0,b>0,由
所以ab≥2 (当且仅当
b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 .2.由x+2y+xy=30,得y= (0所以x·y=
=34-
因为x+2+ 可得xy≤18.
当且仅当x+2= ,即x=6时,代入y=
得y=3时,x·y取最大值18.【延伸探究】
1.典例中题2若将条件“x+2y+xy=30”改为“x+2y=x·y”,其他条件不变,求x+y的最小值.
【解题指南】将条件x+2y=x·y,变成
然后再乘以x+y,即可利用均值不等式求得.【解析】由x+2y=x·y得,
所以x+y=
≥
当且仅当 ,结合
得x= +2,y=1+ 时,取最小值2 +3.2.典例中题2条件不变,求x+2y的最小值.
【解题指南】利用x+2y+x·y=30,建立关于x+2y的不等式求最值.【解析】由30=x+2y+xy=x+2y+ ·x·2y
≤x+2y+
即(x+2y)2+8(x+2y)-240≥0,
(x+2y+20)(x+2y-12)≥0,
所以x+2y≥12或x+2y≤-20(舍)
故x+2y的最小值为12,当且仅当x=6,y=3时取得.【方法技巧】应用基本不等式求最值的方法与步骤
(1)方法:二看一验证
①一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对式子变形,凑出需要的定值;
②二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正;③验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.(2)步骤:【拓展延伸】利用基本不等式解决实际应用问题的方法
利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.【变式训练】1.(2015·山东高考)定义运算
“?”:x?y= (x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为_________.
【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.【解析】x>0,y>0时,x?y+(2y)?x=
所以所求的最小值为 .
答案: 2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利
进行,组委会决定在位于里约热内卢
的马拉卡纳体育场外临时围建一个
矩形观众候场区,总面积为72m2(如图所示),要求矩形
场地的一面利用体育场的外墙,其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x(单位:m),租用铁栏杆的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数.
(2)试确定x,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,并求出最小费用.【解析】(1)依题意有:y= 其中x>2.
(2)由基本不等式可得:y=
当且仅当 =x,即x=12时取“=”.
综上:当x=12时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最
小,最小费用为2200元.【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面)用钢筋网围成.(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?【解题指南】设每间虎笼长xm,宽ym,则问题(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在xy=24的前提下求4x+6y的最小值,使用基本不等式解决.【解析】设每间虎笼长为xm,宽为ym,
(1)由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
方法一:由于2x+3y≥
所以2 ≤18,得xy≤ ,即S≤ ,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.方法二:由2x+3y=18,得x=9- y.
因为x>0,所以0S=xy=
因为00,
所以S≤ 当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,
此时x=4.5.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:因为2x+3y≥
所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,
当且仅当2x=3y时,等号成立.由
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24,得x=
所以l=4x+6y=
当且仅当 =y,即y=4(y=-4舍去)时,等号成立,
此时x=6.
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.类型二 利用基本不等式证明不等式
【典例】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥ .
(2) 【解题探究】典例中如何建立a2与a的不等关系?
提示:由 可建立a2与a的不等关系.【证明】(1)由
相加得:a2+b2+c2+
当且仅当a=b=c= 时取等号.
所以a2+b2+c2≥ .(2)由a>0,b>0,c>0,所以
相加得:
所以
当且仅当a=b=c= 时取等号.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧
(1)方法:用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,寻找出变形的思路,构造出基本不等式,切忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时等号不能同时取到.【变式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1.
求证: 【证明】
当且仅当 即a=b时,等号成立.
故 2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1.
求证: 【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1.当且仅当 即a=b=c时,等号成立.
所以 拓展类型 利用基本不等式比较大小
【典例】若a>b>1,P=
(lga+lgb),R=lg ,试比较P,Q,R的大小关系.【解析】因为a>b>1,
所以lga>0,lgb>0,
所以P=
又Q= (lga+lgb)=lg ,而
所以 即Q(1)在应用基本不等式时,一定要注意其前提条件是否满足,即a>0,b>0.(2)若问题中一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式试试看.【变式训练】1.已知f(x)=lgx,a,b∈R+,
判断P,G,Q的大小关系.【解析】因为a>0,b>0,
所以
当且仅当a=b时取等号.
又函数f(x)=lgx是增函数,
所以P≥G≥Q.2.已知a>b>c,比较 的大小关系.
【解题指南】将 表示成 ,用基本
不等式比较大小.
【解析】因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以
当且仅当a-b=b-c即2b=a+c时取等号.自我纠错 正确运用基本不等式
【典例】给出下面三个推导过程:
(1)因为a,b∈(0,+∞),所以
(2)因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥
(3)因为a∈R,a≠0,所以
其中正确的推导过程的序号为_____________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件,忽视了(2)(3)中的变量可能为负值而致误.正确解答过程如下:【解析】从基本不等式成立的条件考虑.
(1)因为a,b∈(0,+∞),所以 ∈(0,+∞),符合基
本不等式的条件,故(1)的推导过程正确.
(2)虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,
当y∈(0,1)时,lgy是负数,所以(2)的推导过程是错误
的.(3)因为a∈R,不符合基本不等式的条件,
所以 是错误的.
答案:(1)选修4_5 不等式选讲
课 题：基本不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、重要的结论：
已知x，y都是正数，则：
(1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；
(2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值。
二、典型例题：
例1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？
例2、求函数（）的最小值。
例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？
分析：
例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是，那么电灯距离桌面的高度等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：，这里为常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）
分析：
例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一：
∴
解二：当即时
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）
正确的解法是：
当且仅当即时
例6、若，求的最值。
解：
∵ ∴
从而
即。
例7、设且，求的最大值
解：∵ ∴
又
∴
即
例8、已知且，求的最小值
解：
当且仅当即时
三、小结：
四、练习：
1．求下列函数的最值：
1( 、 (min=6)
2(、 ()
2．1(、时求的最小值，的最小值
2(、设，求的最大值(5)
3(、若, 求的最大值
4(、若且，求的最小值
3．若，求证：的最小值为3
4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）
五、作业：
1、将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，
要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为
则其容积为
当且仅当即时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?
解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为
(万元)
年平均费用y=
当且仅当即n＝10时取等号。
答：这种汽车使用10年报废最合算。
3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(全国文科高考题)
解：设画面的宽为x cm，则画面的高为cm，设纸张面积为S
S=
当且仅当x＝，即x= 55 cm，此时高
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。
评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意：
设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；
建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。
课件42张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式学业分层测评（二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
【解析】 显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；
当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，
当且仅当x＝1时，等号成立，
∴f(x)max＝.
【答案】 B
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D.＜a＜＜b
【解析】 取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.
【答案】 B
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为1 D.最小值为1
【解析】 ∵x≥，∴x－2≥，
∴f(x)＝＝(x－2)＋≥
2＝1，当且仅当＝，
即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.
【答案】 D
4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D.4
【解析】 由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，
∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，
∴≥4，当且仅当x＝y时，取等号．
【答案】 D
5．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的关系是( )
A．x>y B．y>x
C．x>y D.y>x
【解析】 因为a，b是不相等的正数，所以x2＝＋<＋＝a＋b＝y2，即x2【答案】 B
二、填空题
6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
【解析】 x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤，即x＋y的最大值为.
【答案】
7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
【解析】 因为x＞0，y＞0，
所以＋≥2＝，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.
【答案】 3
8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
【解析】 ∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2ab·mn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”，
∴所求最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
【解】 ∵x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18. ①
又a＋b＝10， ②
由①②可得或
10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.
【证明】 ∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，
∴＋＋≥1.
[能力提升]
1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D.2
【解析】 因为x，y∈R＋，∴≤，
∴≤＝10，∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
【答案】 D
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D.2千米处
【解析】 由已知：y1＝，
y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋
≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立．
【答案】 A
3．y＝(x＞0)的最小值是________．
【解析】 ∵x＞0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.
当且仅当x＋1＝时取等号．
【答案】 2－1
4．若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围.
【解】 由x>0，知原不等式等价于
0<≤＝x＋＋3恒成立．
又x>0时，x＋≥2＝2，
∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．
因此min＝5，
从而0<≤5，解得a≥.
故实数a的取值范围为.
