第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3 ＝3 ＝3＝3，当且仅当xy＝x2，即x＝1时，等号成立．
答案：C
2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥
3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，
所以a＋的最小值为3.
答案：D
3．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg x＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞) D．3lg 2，＋∞)
解析：因为lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤＝23，
所以lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．
答案：B
4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2 C．12 D． 12
解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.
当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．
答案：C
5．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：当logxy＝－2，得x－2＝y，即x2y＝1，且x＞0，y＞0，
x＋y＝x＋x＋y≥3 ＝.
当且仅当x＝y时等号成立．
答案：A
二、填空题
6．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．
解析：因为a，b是正数，ab2＝1，
所以a＋b＝a＋＋≥3 ＝.
故a＋b的最小值是，
当且仅当即时取到最小值．
答案：
7．函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________．
解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤
＝，
当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．
故函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值为.
答案：
8．设x，y，z＞0且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值是_________．
解析：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
所以x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z，
即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．
所以x2y3z取得最大值1.
答案：1
三、解答题
9．θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．
所以ymax＝.
10．已知a，b，c为正数，求证：
(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
证明：因为a，b，c为正数，
所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3
所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9.
所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
B级 能力提升
1．若数列{an}的通项公式是an＝，则该数列中的最大项是( )
A．第4项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
解析：an＝＝＝
因为n2＋＋≥3 ＝48，
当且仅当n2＝，即n＝4时，等号成立，
所以an≤，该数列的最大项是第4项．
答案：A
2．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为__________，最小值为________．
解析：因为y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8＝8×＝，
所以y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±时取等号．
所以ymax＝，ymin＝－.
答案： －
3．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为x m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，于是底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)，
帐篷的体积为V(x)＝(8＋2x－x2)·＝(4－x)(x＋2)(x＋2)＝(8－2x)(x＋2)(x＋2)≤＝16.
当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．
即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大．
课件47张PPT。3.三个正数的算术-几何平均不等式【自主预习】
1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3)
如果a,b,c∈R+,那么 ≥_______,当且仅当
______时,等号成立.a=b=c2.基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们
的几何平均,即 ___ ,当且
仅当___________时,等号成立.≥a1=a2=…=an【即时小测】
1.函数y=2x2+ (x∈R+)的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选A.因为x∈R+,所以
当且仅当x=1时等号成立.2.若n>0,则 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.因为
所以
当且仅当n=4时等号成立.3.若a>b>0,则a+ 的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
当且仅当(a-b)=b= 时等号成立.
答案:3【知识探究】
探究点 三个正数的算术-几何平均不等式
1.不等式 成立时,a,b,c的范围是什么?
提示:a>0,b>0,c>0.2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注意什么?
提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三相等”同时具备.【归纳总结】
1.定理3的变形及结论
(1)abc≤ .
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.2.利用定理3可确定代数式或函数的最值
(1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥
(定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3 .
(2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤
(定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值 p3.类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值
【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x 的最大值.
2.求函数y=x+ (x>1)的最小值.【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?
提示:可将式子(1-3x)2·x化为 (1-3x)(1-3x)·6x
的形式.
2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?
提示:可将式子x+ 化为
则其积 为常数.【解析】1.因为0
0,
所以y=(1-3x)2·x= (1-3x)·(1-3x)·6x
当且仅当1-3x=1-3x=6x,
即x= 时等号成立,此时ymax= .2.因为x>1,所以x-1>0,
当且仅当
即x=3时等号成立,即ymin=4.【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2)
(0【解析】因为y=x(1-x2),所以y2=x2(1-x2)2=
2x2(1-x2)(1-x2)·
当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x= 时,等号成立,
所以y≤ ,ymax= .2.若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求
x+y的最小值?
【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,
所以x+y=
当且仅当 =y时等号成立,
又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.【方法技巧】用平均不等式求最值的注意点
(1)应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.(2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.【变式训练】
1.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD=2x,梯形面积为S,则S的最大值是_________.【解析】建立如图所示的坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则B(1,-1),代入抛物线方程可得2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-x2),所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2),
x∈(0,1),
S=(x+1)(1-x2)= (x+1)2(2-2x)
≤
当且仅当x+1=2-2x,即x= 时,S的最大值是 .
答案: 2.已知x>0,求y= +3x的最小值.
【解析】因为x>0,所以y=
当且仅当 即x=2时等号成立.故y= +3x
的最小值为9.类型二 利用三个正数的算术-几何平均不等式证明
不等式
【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+
【解题探究】典例可分几次使用不等式?
提示:分两次使用不等式.【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥
=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+
当且仅当3abc= 时,等号成立.所以a3+b3+c3+【方法技巧】证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.
(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.【变式训练】1.已知x,y均为正数,且x>y,求证:
2x+ ≥2y+3.【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,
所以2x+ -2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
等号成立的条件是 =x-y,即x-y=1.
所以2x+ ≥2y+3.2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足
a>b>c>d,求证: 【证明】因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0,
c-d>0,a-d>0,所以
= [(a-b)+(b-c)+(c-d)]
≥
当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即 【补偿训练】设a,b,c∈R+,求证:
【证明】因为
当且仅当c= 时取等号,所以原不等式成立.拓展类型 平均不等式在解应用题中的应用
【典例】如图所示,在一张半径是2米的
圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,
灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;
挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到
桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这
一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k .
这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎
样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?【解析】因为r= ,所以E=
所以E2= ·sin2θ·cos4θ= ·
(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,即tan2θ= ,tanθ= ,
所以h=2tanθ= ,即h= 米时,E最大,此时桌子边缘
处最亮.故当灯的高度为 米时,才能使桌子边缘处最
亮.【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法
解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式,把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑成可以利用平均不等式的形式.【变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_________.【解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别
是x,y,z,三角形的面积为S.则S= (3x+4y+5z),又因为
32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=
×3×4=6,
所以3x+4y+5z=2×6=12,所以 ≤3x+4y+5z=12,所以(xyz)max= .
当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成立.
答案: 2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售
量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系
式y= +10(x-6)2,其中3格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值.
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=5时,y=11,
所以 +10=11,所以a=2.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,
3当x=4时,f(x)取最大值,且最大值等于42.
答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.自我纠错 三个正数的算术-几何平均不等式在求最值中的应用
【典例】已知0≤x≤1,求y=x4(1-x2)的最大值.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的条件和原则,忽视了等号成立的条件.正确解答过程如下:【解析】y=x4(1-x2)= x2·x2·(2-2x2)
当且仅当x2=2-2x2,即x= 时,y=x4(1-x2)取得最
大值 课件37张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式学业分层测评（三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)
【解析】 ∵6＝x＋y＋z≥3，
∴xyz≤8.
∴lg x＋lg y＋lg z
＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.
【答案】 B
2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )
A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1
【解析】 x＋＝＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.
【答案】 A
3．设0A. B．1 C. D.
【解析】 ∵0∴0<1－x<1，
∴x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)
≤3＝.
当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】 D
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D.z≤y≤x
【解析】 由a，b，c大于0，易知≥，即x≥y.又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，
∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
【答案】 B
5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为( )
A．2 B．7
C．8 D.1
【解析】 ∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
∴x2y3z≤1，当＝y＝4z时，取“＝”，
即x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.
【答案】 D
二、填空题
6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．
【解析】 由题意知a＋(b*c)＝a＋＝，
(a＋b)*(a＋c)＝＝，
所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
【答案】 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)
7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
【解析】 ∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．
【答案】 8
8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确的不等式序号是________．
【解析】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3，
0从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，
∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，
因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋（＋＋）≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
【证明】 因为a，b，c均为正数，由算术-几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc).
所以≥9(abc). ②
故a2＋b2＋c2＋
≥3(abc)＋9(abc).
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
【解】 (1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，
所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，＝＝取最小值3.
(2)证明：x2＋y2＋z2＝
≥
＝＝3.
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，
所以3≤x2＋y2＋z2<9.
[能力提升]
1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π
【解析】 设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
【答案】 B
2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3＝3＝3＝3.
【答案】 C
3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
【解析】 ∵2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a.又∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
【答案】 2
4．如图1-1-3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1-1-3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
图1-1-3
【解】 设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，
由图可有2h＋x＝，
∴h＝(1－x)，
V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)
＝9×××(1－x)≤9×3＝.
当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
