第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式
1.2.2 绝对不等式的解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式|3x－2|＞4的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：由|3x－2|＞4得3x－2＞4或3x－2＜－4
所以x＞2或x＜－.
答案：C
2．(2018·山东模拟)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1，4) D．(1，5)
解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(x－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．
法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．
答案：A
3．设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为|x－2|＜1等价于1＜x＜3，x2＋x－2＞0等价于x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．
答案：A
4．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≥3
C．a≤1 D．a≤3
解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得选B；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．
答案：B
5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪5，＋∞) B．－5，－3]
C．3，5] D．(－∞，－5]∪－3，＋∞)
解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
答案：D
二、填空题
6．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝______．
解析：法一：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，
即2≤kx≤6，又1≤x≤3，所以k＝2.
法二：由题意可知x＝1，x＝3是|kx－4|＝2的两根，则解得k＝2.
答案：2
7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＜0时，显然成立；
因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋≤4.所以a＝2，
综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．
答案：(－∞，0)∪{2}
8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是?，则a的取值范围是________．
解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3.
答案：a＜3
三、解答题
9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|∈a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设f(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋1|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)．
解：(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m，
所以解得
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
所以f(x)＋t≥f(x＋2t)，
所以|x－2＋2t|－|x－2|≤t.
当t＝0时，不等式恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式等价于或
或
解得x＜2－2t或2－2t≤x≤2－或x∈?，
即x≤2－.
综上所述，当t＝0时，原不等式的解集为R；
当t＞0时，原不等式的解集为.
B级 能力提升
1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪4，＋∞) B．(－∞，－2]∪5，＋∞)
C．1，2] D．(－∞，1]∪2，＋∞)
解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，
所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.
答案：A
2．若f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．
解析：当a≤－1时，
f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
则f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝－a－1，
由－a－1＝5得a＝－6，符合a≤－1；
当a＞－1时，
f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
则f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝a＋1，
由a＋1＝5，得a＝4，符合a＞－1.
综上所述，实数a的值为－6或4.
答案：－6或4
3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3?|x－3|＋|x－2|≥3
?或
或
?x≤1或x∈?或x≥4.
故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)原命题?f(x)≤|x－4|在1，2]上恒成立?|x＋a|＋2－x≤4－x在1，2]上恒成立?－2－x≤a≤2－x在1，2]上恒成立?－3≤a≤0.
故a的取值范围是－3，0]．
课件53张PPT。2.绝对值不等式的解法【自主预习】
1.含绝对值不等式|x|
a的解法
(1)|x|(2)|x|>a? _____(a<0)，
___________(a=0),
__________(a>0)._______(a>0),
_____(a≤0).-aa或x<-a2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c?____________.
(2)|ax+b|≥c?__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的三种解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义.
(2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之.
(3)通过构造函数,利用函数图象.【即时小测】
1.若不等式|8x+9|<7和不等式x2+ax+b<0的解集相同,则a=_________,b=_________.【解析】由|8x+9|<7得-2所以-a=(-2)+
所以
答案: 2.不等式 的解集是_________ .
【解析】由 知 <0,
解得0答案:{x|0【解析】当x≥-1时,原不等式可化为x+1≥2-x,
解得x≥
当x<-1时,原不等式可化为-(x+1)≥2-x,
此不等式无解.综合上述,不等式|x+1|≥2-x的解集为
答案: 【知识探究】
探究点 绝对值不等式的解法
1.|x|的几何意义是什么?
提示:|x|表示数轴上的点x到原点0的距离.2.|x-a|<|x-b|,|x-a|>|x-b|(a≠b)型的不等式如何来解?
提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.【归纳总结】
1.|x-a|±|x-b|的几何意义
数轴上的点x到点a,b的距离之和(差)
2.解含绝对值不等式的关键
解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式.3.|f(x)|<|g(x)|的解法
关于|f(x)|<|g(x)|的解法可利用|x|0)?x2和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,则a,b的值为 ( )
A.a=-8,b=-10 B.a=-4,b=-9
C.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2
2.对于x∈R,解不等式|2x-3|-x≥3.【解题探究】1.|8x+9|<7的解集是什么?
提示:
2.典例2中不等式|2x-3|-x≥3等价于什么?
提示:|2x-3|-x≥3?|2x-3|≥x+3.
?2x-3≥x+3或2x-3≤-x-3.【解析】1.选B.|8x+9|<7?-7<8x+9<7,
解得-2因为不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,
所以-2和 是方程ax2+bx-2=0的两根,
由根与系数的关系得: 2.方法一:原不等式等价于|2x-3|≥x+3,即2x-3≥x+3
或2x-3≤-x-3,解得x≥6或x≤0.所以不等式的解集为
(-∞,0]∪[6,+∞).
方法二:由题知 解得x≥6或x≤0,
所以不等式的解集为(-∞,0]∪[6,+∞).【方法技巧】含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f(x)|a(a∈R)型不等式.
①当a>0时,|f(x)||f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<-a;②当a=0时,|f(x)||f(x)|>a?f(x)≠0;
③当a<0时,|f(x)||f(x)|>a?f(x)有意义即可.(2)形如|f(x)|g(x)型不等式.
①|f(x)|②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).(3)形如a<|f(x)|a>0)型不等式.
a<|f(x)|(4)形如|f(x)|f(x)型不等式.
|f(x)|f(x)?f(x)<0.【变式训练】
1.不等式|5x-x2|<6的解集为 ( )
A.{x|x<2或x>3}
B.{x|-1C.{x|-1D.{x|2由5x-x2<6解得x>3或x<2;
由-6<5x-x2解得-1综上知不等式|5x-x2|<6的解集为{x|-1【解题指南】可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)型不等式后逐一求解,也可利用分区讨论法分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.【解析】方法一:原不等式等价于不等式组
即 解得-1≤x<1或3所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3① 或②
由①得3所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3即 解得
所以-1≤x<1或3所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3【典例】(2016·商丘高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x+a|.
(1)a=-3时,求不等式f(x)≤6的解集.
(2)若关于x的不等式f(x)>a恒成立,求实数a的取值范围.【解题探究】典例(1)如何去掉|2x+1|+|2x-3|≤6的绝对值符号?
(2)如何求f(x)的最小值?提示:(1)将x分成x> ,- ≤x≤ 和x<- 三种情况,
通过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个
一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式
的解集.(2)利用绝对值不等式性质:|a|+|b|≥|a-b|,
求出|2x+1|+|2x+a|的最小值|1-a|.【解析】(1)当a=-3时,f(x)≤6为|2x+1|+|2x-3|≤6,
等价于
解得 所以不等式f(x)≤6的解集为[-1,2].(2)因为|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-(2x+a)|=|1-a|,
所以a<|1-a|,解得a< ,即实数a取值范围 【延伸探究】
1.若将本例条件“f(x)=|2x+1|+|2x+a|”换为“f(x)=|2x+1|-|2x+a|”,且f(x)因为f(x)解得a> ,所以a的取值范围是 2.本例条件不变,若f(x)≤|2x-4|的解集包含[1,2],
求a的取值范围.
【解析】f(x)≤|2x-4|,
即|2x-4|-|2x+1|≥|2x+a|,
而|2x-4|-|2x+1|≤|2x-4-2x-1|=5所以|2x+a|≤5,得
由条件得: 解得-7≤a≤1.
所以a的取值范围是[-7,1].【方法技巧】
1.形如|f(x)|<|g(x)|型不等式的解法
此类问题的简单解法是利用平方法,即
|f(x)|<|g(x)|?[f(x)]2<[g(x)]2
?[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)“零点分段法”的关键在于对绝对值代数意义的理
解,即|x|= 也即x∈R.x为非负数时,|x|为
x;x为负数时,|x|为-x,即x的相反数.(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式
的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是
密切相关的,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分
段表达式.不妨设a1.解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【解析】当x≤-1时,原不等式可化为-(x+1)-(x-1)≥3,
解得x≤- .
当-1当x≥1时,原不等式可化为x+1+x-1≥3
解得x≥ .
综上所述,原不等式的解集是:{x|x≤- 或x≥ }.2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.
(2)若当x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1.
当x≤-3时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成
立.
当-3≤x<-1.当x≥-1时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立.
综上,不等式的解集为 (2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x-a|≤x+7,
由此得a≥-7且a≤2x+7,
当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7,
所以a的取值范围是[-7,7].【补偿训练】已知f(x)=|x-3|+|x+1|-6,若不等式f(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.
【解析】因为对任意x∈R,f(x)≥m+1恒成立,
f(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6
≥|3-x+x+1|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3.即m的取值范围是(-∞,-3].自我纠错 绝对值不等式的恒成立问题
【典例】求使不等式 (|x+3|-|x+7|)的m的取值范围.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是指数函数与对数函数的单调性记错,底数小于1,应为减函数,所以不等式要变号.【解析】不等式 (|x+3|-|x+7|)即不等式|x+3|-|x+7|> 恒成立.
由绝对值不等式的几何意义知
|x+3|-|x+7|≤|(x+3)-(x+7)|=4,
即 所以m>-2.选修4_5 不等式选讲
课 题： 第03课时 含有绝对值的不等式的证明
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1） （2）
（3） （4）
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？
显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）， （2）。
证明（1）如果那么所以
如果那么所以
（2）根据（1）的结果，有，就是，。
所以，。
例2、证明 。
例3、证明 。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 ，求证
证明 （1）
，
∴ （2）
由（1），（2）得：
例5、已知 求证：。
证明 ，∴，
由例1及上式，。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结：
四、练习：
1、已知求证：。
2、已知求证：。
五、作业：
链接：不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式。
题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的所有流动点。
首先在数轴上找到点，，（如图）。
-1 0 1 2 3
从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正好是1，而到的距离是。
现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。
由可得
再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点而止。
由可得从而不等式的解为
2．画出不等式的图形，并指出其解的范围。
先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
，，.
其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1. ; 2．
A组
1．解下列不等式：
（1） （2） 1
（3） （4）
2．解不等式： （1） （2）
3．解不等式： （1） （2）
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式<有解，要满足什么条件？
5．已知 求证：
（1）；（2）
6．已知 求证：
7．已知 求证：
B组
*****8．求证
*****9．已知 求证：
10．若为任意实数，为正数，求证：
（，而）
课件51张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式学业分层测评（四）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有( )
A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|
【解析】 当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，
如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；
|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；
|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.
【答案】 D
2．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系为( )
A．m>n B．mC．m＝n D.m≤n
【解析】 由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得≤1，≥1.
【答案】 D
3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D.≥2
【解析】 当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．
【答案】 C
4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a|| D.b＜||a|－|c||
【解析】 b＞|a－c|＞|a|－|c|，
b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，
∴b＞||a|－|c||，故C成立．
应选D(此题代入数字也可判出)．
【答案】 D
5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．
【答案】 A
二、填空题
6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
【解析】 因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.
【答案】 R
7．下列四个不等式：
①logx10＋lg x≥2(x＞1)；
②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________(填序号)．
【解析】 logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确．
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0，与同号，
∴＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．
综上，①③④正确．
【答案】 ①③④
8．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．
【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
【答案】 ①③?②
三、解答题
9．设ε>0，|x－a|<，|y－b|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.
【证明】 ∵|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤2|x－a|＋3|y－b|<2×＋3×＝ε.
10．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
【解】 (1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3当0综上，a的取值范围是.
[能力提升]
1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| 的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D.4
【解析】 ∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
【答案】 C
2．以下三个命题：
(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
(3)若|x|＜2，|y|＞3，则＜.
其中正确的有________个．
【解析】 (1)1＞|a－b|≥|a|－|b|，
∴1＋|b|＞|a|成立，(1)正确；
(2)|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|a－b|正确；
(3)＝＜＜，正确．
【答案】 3
3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】 |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
【答案】 －2≤a≤4
4．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是____________．
【解析】 ∵－4＜b＜2，则0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.
又∵1＜a＜8，∴－3＜a－|b|＜8.
【答案】 (－3,8)
5．设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
【证明】 因为|x－1|＜，|y－2|＜，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.
课 题： 第03课时 含有绝对值的不等式的证明
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1） （2）
（3） （4）
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？
显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）， （2）。
证明（1）如果那么所以
如果那么所以
（2）根据（1）的结果，有，就是，。
所以，。
例2、证明 。
例3、证明 。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 ，求证
证明 （1）
，
∴ （2）
由（1），（2）得：
例5、已知 求证：。
证明 ，∴，
由例1及上式，。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结：
四、练习：
1、已知求证：。
2、已知求证：。
五、作业：
链接：不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式。
题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的所有流动点。
首先在数轴上找到点，，（如图）。
-1 0 1 2 3
从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正好是1，而到的距离是。
现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。
由可得
再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点而止。
由可得从而不等式的解为
2．画出不等式的图形，并指出其解的范围。
先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
，，.
其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1. ; 2．
A组
（1）；（2）
6．已知 求证：
7．已知 求证：
B组
*****8．求证
*****9．已知 求证：
10．若为任意实数，为正数，求证：
（，而）
