选修4_5 不等式选讲
课 题： 第07课时 不等式的证明方法之一：比较法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设，求证：。
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，
从而，
其中都是正数，且。于是，即。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例5、设求证；对任意实数，恒有
（1）
证明 考虑（1）式两边的差。
＝
＝ （2）
即（1）成立。
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）与；（2）与.
2．已知 求证：（1） （2）
3．若，求证
4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．
解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
= - (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)
∴a4-b44a3(a-b)。
5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．
6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．
7．如果x>0，比较与的大小．
8．已知a≠0，比较与的大小．
9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．
说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
阅读材料：琴生不等式
例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。
琴生在1905年给出了一个定义：
设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有
（1）
则称为[a,b]上的凸函数。
若把（1）式的不等号反向，则称这样的为[a,b]上的凹函数。
凸函数的几何意义是：过曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。
其推广形式是：若函数的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数，都有
（2）
当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。
更为一般的情况是：设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有
其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。
其推广形式 ，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有，
当且仅当时等号成立。
若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。
第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解析：因为p－q＝＋－a－b＝≤0，所以p≤q.
答案：B
2．已知a，b都是正数，P＝， Q＝，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P≤Q
解析：因为a，b都是正数，
所以P＞0，Q＞0.
所以P2－Q2＝－()2＝≤0.
所以P2－Q2≤0.所以P≤Q.
答案：D
3．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列一定正确的是( )
A．ac≥b B．ab≥c
C．bc≥a D．ab≤c
解析：因为logac·logbc＝＝4，
所以lg2c＝4lg a·lg b≤(lg a＋lg b)2＝(lg ab)2.
又c＞1，a＞1，b＞1，
所以lg c≤lg ab，即c≤ab.
答案：B
4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为( )
A．a5＞b5 B．a5＜b5
C．a5＝b5 D．不确定
解析：由等比数列的性质知a5＝，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1≠a3，
故a5－b5＝－2b3＋b1＝＝＞0.
因此，a5＞b5.
答案：A
5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．大小不确定
解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，0＜＜1，
所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A.
答案：A
二、填空题
6．若－1＜a＜b＜0，则，， a2，b2中最小的是________．
解析：依题意，有＞，a2＞b2，故只需比较与b2的大小．
因为b2＞0，＜0，
所以＜b2.所以，，a2，b2中最小的是.
答案：
7．设x＝a2b2＋5， y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，故a＝－2，b＝－不同时成立．
答案：a＝－2，b＝－不同时成立
8．若0＜a＜b＜1，P＝log，Q＝(loga＋logb)，M＝log (a＋b)，则P，Q，M的大小关系是________．
解析：因为0＜a＜b＜1，所以＞，
所以log＜log＝log (ab)＝
(loga＋logb)，即P＜Q，又＜a＋b，
所以log＞log (a＋b)，即P＞M，所以Q＞P＞M.
答案：Q＞P＞M
三、解答题
9．已知a∈R，求证：3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.
证明：3(1＋a2＋a4)－(1＋a＋a2)2＝3(1＋a2＋a4)－(1＋a2＋a4＋2a＋2a3＋2a2)＝2－2a－2a3＋2a4＝2(1－a)2(1＋a＋a2)≥0，即3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.
10．已知a，b，c∈R＋，求证：aabbcc≥(abc).
证明：因为a，b，c是正数，不妨设a≥b≥c＞0，
则≥1，≥1，≥1.
因为＝abc＝·≥1，
所以aabbcc≥(abc).
B级 能力提升
1．已知a＞b＞0， c＞d＞0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是( )
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
解析：因为a＞b＞0，c＞d＞0，
所以ac＞bd＞0，＞，
所以m＞0，n＞0.
又因为m2＝ac＋bd－2，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，
又由ad＋bc＞2，
所以－2＞－ad－bc，
所以m2＞n2，所以m＞n.
答案：B
2．已知a＞0，对于大于1的自然数n，总有＜，则a的取值范围是________．
解析：因为0＜a＜a，且＞，所以0＜a＜1.
答案：(0，1)
3．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(1)由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy) 2.
将上式中的右式减左式，得y＋x＋(xy)2]－xy(x＋y)＋1]＝(xy)2－1]－xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，
由换底公式得logca＝，logba＝，logab＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)成立知所要证明的不等式成立．
课件33张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法
一 比 较 法【自主预习】
比较法的定义
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明______;要证明
a
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
>1;要证明b>a,只要证明_____.这种证明不等式的方
法,叫做作商比较法.a-b>0a-b<0【即时小测】
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是
( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
【解析】选C.由a+b>0,b<0,得a>-b>0,于是a>-b>b>-a.2.设a,b∈R且a+|b|<0,则下列结论中正确的是( )
A.a-b>0 B.a2+b2<0
C.a2-b2<0 D.a+b<0
【解析】选D.由a+|b|<0,知a<-|b|≤0,
所以a+b【解析】因为a∈R且a≠1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,
即a2+1>2a.
答案:a2+1>2a【知识探究】
探究点 比较法证明不等式
1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么?
提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.作商比较法主要适用类型是什么?
提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论.【归纳总结】
1.作差法的依据
若a,b∈R,则a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a2.作差法的步骤
作差→变形→判断符号(与0比较大小)→结论.3.作商法的依据
若a>0,b>0,则 >1?a>b; =1?a=b; <1?a4.作商比较法适用证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等
式或某些不同底数对数值的大小比较.类型一 作差比较法
【典例】已知a,b∈R,求证:a2+b2+1≥ab+a+b.
【解题探究】典例中作差后,如何与0比较大小?
提示:化为几个完全平方式的和,然后与0比较大小.【证明】因为a2+b2-ab-a-b+1= [(a-b)2+(a-1)2+
(b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时取等号,所以
a2+b2+1≥ab+a+b.【方法技巧】作差比较法证明不等式的技巧
(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz【解析】选B.由x0,故ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x) +c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cxb>c,证明:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.
【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2) +(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c).
因为a>b>c,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0,所以(a-c)(a-b)(b-c)>0,即a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.类型二 作商比较法
【典例】设a>0,b>0,求证:aabb≥
【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条
件时ab>1?
提示:若01;若a>1,则b>0时,ab>1.【证明】因为aabb>0, >0,
所以
所以当a=b时,显然有 =1;
当a>b>0时,
当b>a>0时, 由指数函数的单调性,有
综上可知,对任意a>0,b>0,都有aabb≥ 【延伸探究】
1.典例中的条件不变,试证明:abba≤
【证明】因为abba>0, >0,
所以
所以当a=b时,显然有 =1;当a>b>0时,
当b>a>0时,
由指数函数的单调性,有
综上可知,对任意a>0,b>0,都有abba≤ 2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b= 因为a>b>0,所以 >1,a-b>0,所以 >1.
同理 >1, >1.
所以 >1,所以a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.【方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤
(1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商.
(2)变形:化简商式到最简形式.
(3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1.
(4)得出结论.【变式训练】已知a>2,求证:loga(a-1)【证明】因为a>2,则a-1>1,所以loga(a-1)>0,
log(a+1)a>0,
由于 =loga(a-1)·loga(a+1)因为a>2,所以0因为log(a+1)a>0,所以loga(a-1)【典例】设实数a,b,c满足等式①b+c=6-4a+3a2;
②c-b=4-4a+a2;试比较a,b,c的大小关系.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式的变形不彻底而引起的.【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,知c≥b.
又①-②,得b=a2+1,所以b-a=a2-a+1=
所以b>a,故c≥b>a.课件30张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法学业分层测评（六）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＞2，b＞2，则( )
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab＞a＋b D.ab＜a＋b
【解析】 ∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，
则ab－(a＋b)＝a＋b＞0，
∴ab＞a＋b.
【答案】 C
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为( )
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
【解析】 ∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，∴＜.
【答案】 B
3．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D.P≤Q
【解析】 ∵a，b都是正数，
∴P＞0，Q＞0，
∴P2－Q2＝－()2
＝≤0(当且仅当a＝b时取等号)，
∴P2－Q2≤0.
∴P≤Q.
【答案】 D
4．下列四个数中最大的是( )
A．lg 2 B．lg
C．(lg 2)2 D.lg(lg 2)
【解析】 ∵0＜lg 2＜1＜＜2，
∴lg(lg 2)＜0＜lg ＜lg 2，
且(lg 2)2＜lg 2，故选A.
【答案】 A
5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是( )
A．a5b5
C．a5＝b5 D.不确定
【解析】 设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．
∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，
∴aq4＝(a1＋2d)2＝a＋4a1d＋4d2，
∴a5－b5＝
＝＝.
∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，
∴a5>b5.
【答案】 B
二、填空题
6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________.
【解析】 P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2.
∵P>Q，∴P－Q>0，
即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
∴ab≠1或a≠－2.
【答案】 ab≠1或a≠－2
7．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
【解析】 M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.
【答案】 M＞N
8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则与的大小关系是________．
【解析】 ∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，
∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.
从而＝＞1，
∴＞.
【答案】 ＞
三、解答题
9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【证明】 ∵a＞2，
则a－1＞1，
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
＜
＝.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，
∴＜＝1，
因此＜1.
∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
【解】 (1)由题设知2a3＝a1＋a2，
即2a1q2＝a1＋a1q.
又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，
故Sn＞bn.
若q＝－，则Sn＝2n＋·＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；
当n＝10时，Sn＝bn；
当n≥11时，Sn＜bn.
[能力提升]
1．已知a＞0，b＞0，m＝＋，＝＋，p＝，则m，n，p的大小顺序是( )
A．m≥n＞p B．m＞n≥p
C．n＞m＞p D.n≥m＞p
【解析】 由已知m＝＋，n＝＋，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.
【答案】 A
2．设m＞n，n∈N*，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则a与b的大小关系为( )
A．a≥b B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D.以上都不正确
【解析】 要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．
a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx).
∵x＞1，∴lg x＞0.
当0＜lg x＜1时，a＞b；
当lg x＝1时，a＝b；
当lg x＞1时，a＞b.
∴应选A.
【答案】 A
3．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．
【解析】 设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a
＝0.045，
∵a＜，∴L1＜L2，月末出售好．
【答案】 月末
4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
【证明】 ∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.
∴a2b＋ab2－2ab＞0，
a3＋b3－2ab＞0.
∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
课 题： 第08课时 不等式的证明方法之一：比较法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设，求证：。
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，
从而，
其中都是正数，且。于是，即。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例5、设求证；对任意实数，恒有
（1）
证明 考虑（1）式两边的差。
＝
＝ （2）
即（1）成立。
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）与；（2）与.
2．已知 求证：（1） （2）
3．若，求证
4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．
解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
= - (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)
∴a4-b44a3(a-b)。
5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．
6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．
7．如果x>0，比较与的大小．
8．已知a≠0，比较与的大小．
9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．
说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
阅读材料：琴生不等式
例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。
琴生在1905年给出了一个定义：
设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有
当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。
更为一般的情况是：设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有
其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。
其推广形式 ，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有，
当且仅当时等号成立。
若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。
