选修4_5 不等式选讲
课 题： 第08课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：
例1、都是正数。求证：
证明：由重要不等式可得
本例的证明是综合法。
例2、设，求证
证法一 分析法
要证成立.
只需证成立，
又因，
只需证成立，
又需证成立，
即需证成立.
而显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
注意到，即，
由上式即得，
从而成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （1）
证法一 要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 是正数，所以
两边同时加上得
两边同时除以正数得（1）。
读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）
而采用综合法的证法二就是
如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。
证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。
为了证明上式成立，只需证明。
两边同乘以正数，得：。
因此，只需证明。
上式显然成立，所以 。
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明：。
证法一 因为 （2）
（3）
（4）
所以三式相加得 （5）
两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为
所以（1）成立。
例6、证明： （1）
证明 （1） （2）
（3）
（4）
（5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？
分析：本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明：
=
=
由于都是正数，所以而，
可知
即（等号在时成立）
探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：
，其中是互不相等的正数，且.
三、小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、练习：
1、已知求证：
2、已知求证
3、已知求证
4、已知求证：
（1）
（2）
5、已知都是正数。求证：
（1） （2）
6、已知都是互不相等的正数，求证
五、作业：
第二讲 证明不等式的基本方法
2.2 综合法与分析法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若a＞0，b＞0，则必有( )
A.＞2b－a B.＜2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，
所以a＋≥2b，即≥2b－a.
答案：C
2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤2(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，
所以(x＋y)＋1＝xy≤.
所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
解得x＋y≥2(＋1)．
答案：A
3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是( )
A.＞ B.＞
C．a＋＞b－ D．aa＞ab
解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，所以＞.
答案：B
4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.
又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项B成立．
答案：B
5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.
反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．
如：a＝，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.
答案：B
二、填空题
6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b＞a＋b?(＋)(－)2＞0?a≥0，b≥0，且a≠b.
答案：a≥0，b≥0，且a≠b
7．若＜＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.
其中正确的不等式的序号为________．
解析：因为＜＜0，
所以b＜a＜0，故②③错．
答案：①④
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．
解析：因为a2＋b2＝c2，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，
所以≤，
又因为a＋b＞c，所以＞1.
所以的取值范围是(1，]．
答案：(1，]
三、解答题
9．求证：＜2－.
证明：21＜25?＜5?2＜10?10＋2＜20?(＋)2＜(2)2?＋＜2?＜2－.
所以原不等式成立．
10．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜.
证明：因为a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.
所以a2＋ab＋b2＝a＋b.
所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.
所以a＋b＞1.
要证a＋b＜，只需证3(a＋b)＜4，
只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，
即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，
只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0，
而a，b为不相等的正数，
所以(a－b)2＞0一定成立．
故a＋b＜成立．
综上所述，1＜a＋b＜.
B级 能力提升
1．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )
A．(a＋b)≥4
B．a3＋b3≥2ab2
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D.≥－
解析：因为a＞0，b＞0，
所以(a＋b)≥2·2≥4，
当且仅当a＝b时等号成立，故A恒成立；
a3＋b3≥2ab2，取a＝，b＝，则B不成立；
a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C恒成立；
若a＜b，则≥－恒成立；
若a≥b，则()2－(－)2＝2(－b)≥0，
所以≥－，故D恒成立．
答案：B
2．若n为正整数，则2与2＋的大小关系是________．
解析：要比较2与2＋的大小，只需比较(2)2与的大小，即4n＋4与4n＋4＋的大小．
因为n为正整数，所以4n＋4＋＞4n＋4.
所以2＜2＋.
答案：2＜2＋
3．(2018·课标全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，
则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2即a＋b＋2>c＋d＋2，
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|<|c－d|，
综上所述＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
课件49张PPT。二 综合法与分析法【自主预习】
1.综合法
一般地,从_________出发,利用定义、公理、定理、
性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这
种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因
导果法.已知条件2.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立
的_________,直至所需条件为_____________________
_________(定义、公理或已证明的定理、性质等),从
而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这
是一种_________的思考和证明方法.要证的结论充分条件已知条件或一个明显成立的事实执果索因【即时小测】
1.关于综合法和分析法说法错误的是 ( )
A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B.综合法又叫顺推证法或由因导果法
C.分析法又叫逆推证法或执果索因法
D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索因法,是逆推证法.2.下列对命题“函数f(x)=x+ 是奇函数”的证明不
是综合法的是 ( )
A.?x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+ =-f(x),
所以f(x)是奇函数
B.?x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+
所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数C.?x∈R且x≠0,因为f(x)≠0,所以
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数
D.取x=-1,f(-1)=-1+ =-2,又f(1)=1+ =2,f(-1)
=-f(1),所以f(x)是奇函数【解析】选D.A,B,C都是从已知条件出发,利用奇函数定义,得出结论的,都是综合法;D不是综合法证明.3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证 ( )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1- ≤0
C. -1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)
=-(a2-1)(b2-1),
故要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证(a2-1)(b2-1)≥0.【知识探究】
探究点 综合法与分析法
1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的?
提示:综合法:A?B1?B2?…?Bn?B
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).分析法:B?B1?B2?…?Bn?A
(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).2.如何理解分析法寻找的是充分条件?
提示:用分析法证明,其叙述格式是:要证明A,只需证明B.即说明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体现了数学中“正难则反”的原则,也是思维中的逆向思维.逆求(不是逆推)结论成立的充分条件.【归纳总结】
1.综合法和分析法的比较
(1)相同点:都是直接证明.
(2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;
分析法:执果索因,利于思考,易于探索.2.证明不等式的通常做法
常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程.类型一 用综合法证明不等式
【典例】(2016·大连高二检测)已知a,b,c均为正实
数,且
(1)证明:
(2)求证: 【解题探究】要证明该题,根据题目的形式,你联想到利用哪个公式解决?
提示:根据题目给出的形式,可根据基本不等式求证.【证明】(1)由a,b,c均为正实数,且
可得
相加可得 即有
当且仅当a=b=c= 取得等号.
故原不等式成立.(2)由a,b,c均为正实数,且
可得
相加可得
即有原不等式成立.【方法技巧】综合法证明不等式的策略
(1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下
几个:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有
a2+b2≥2ab, ≥ab,a2+b2≥ (a+b)2;③若a,b
为正实数,则 特别 ≥2;④a2+b2+c2≥
ab+bc+ca.(3)在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.【变式训练】(2015·绥化高二检测)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.【证明】因为a≠b,所以a-b≠0,所以a2-2ab+b2>0,
所以a2-ab+b2>ab.
而a,b均为正数,所以a+b>0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
所以a3+b3>a2b+ab2成立.【补偿训练】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,
求证:
【证明】因为a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,
所以
所以 类型二 用分析法证明不等式
【典例】1.(2016·聊城高二检测)已知a,b,m都是
正数,并且a2.设a>b>c,且a+b+c=0,求证:
(1)b2-ac>0.(2) 【解题探究】1.典例1用分析法证明的关键是什么?
提示:a,b,m都是正数,要证 成立,只需证明
b(a+m)>a(b+m)成立,所以关键是证明b(a+m)>a(b+m)
成立.2.典例2(2)中证明的关键是什么?
提示:证明的关键是对式子两端平方后,能得到显然成立的条件.【证明】1.a,b,m都是正数,
要证 成立,只需证b(a+m)>a(b+m)成立,
即证ba+bm>ab+am,即证bm>am,即证b>a,
而a所以 成立.2.(1)因为a>b>c且a+b+c=0,
所以a>0,c<0,ac<0,故b2-ac>0.
(2)欲证
只需证b2-ac<3a2.
因为c=-(a+b),
只要证明b2+a(a+b)<3a2成立.也就是(a-b)(2a+b)>0.
即证(a-b)(a-c)>0.
因为a>b>c,
所以(a-b)(a-c)>0成立,
从而 成立.【延伸探究】
1.若将典例2中条件改为“a>b>0”,求证:【证明】要证原不等式成立,
只需证
即证
因为a>b>0,所以只需证
即 只需证
因为a>b>0,所以 成立.所以原不等式成立.2.典例2条件改为设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证
明:ab+bc+ac≤ .【证明】由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤ .【方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点
(1)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止.(2)注意点:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.【变式训练】
1.当x≥4时,证明:
【证明】欲证
只需证
即证 展开整理,得
只需证(x-1)(x-4)<(x-2)(x-3),
即x2-5x+4所以原不等式 成立.2.若a,b,c均为正数,求证:
【证明】要证
只要证
只要证 只要证(a+b+c)
因为(a+b+c)
所以原不等式成立.自我纠错 用分析法证明不等式
【典例】已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是证明过程不符合分析法的证明思路.正确解答过程如下:【证明】要证 成立,
只需证明 成立,
即只需证明 ≤1,即
即只需证明ab≤ 成立,由a,b∈(0,+∞),且a+b=1,知ab≤ 显然成立,
于是 ≤2成立,不等式得证.课件37张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法学业分层测评（七）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D.a|c|＞b|c|
【解析】 ∵a＞b，c2＋1＞0，
∴＞，故选C.
【答案】 C
2．设＜＜＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa
【解析】 ∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，
＝.∵0＜＜1，a＞0，
∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.
【答案】 C
3．已知条件p：ab>0，q：＋≥2，则p与q的关系是( )
A．p是q的充分而不必要条件
B．p是q的必要而不充分条件
C．p是q的充要条件
D．以上答案都不对
【解析】 当ab>0时，>0，>0，
∴＋≥2 ＝2.
当＋≥2时，
∴≥0，≥0，
(a－b)2≥0，∴ab>0，
综上，ab>0是＋≥2的充要条件．
【答案】 C
4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )
A.＋≥2 B.＋≥a＋b
C.＋≤ D.＋≥
【解析】 A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．
【答案】 C
5．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )
A．S≥2P B．P＜S＜2P
C．S＞P D.P≤S＜2P
【解析】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
即S≥P.
又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2，
同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，
∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.
【答案】 D
二、填空题
6．有以下四个不等式：
①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|.
其中恒成立的为________(写出序号即可)．
【解析】 对于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；对于②，当a＝b＝0时， 0＜0不成立；③④显然成立．
【答案】 ③④
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．
【解析】 ∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴≤，当且仅当a＝b时，取等号．又∵a＋b>c，∴>1.
【答案】 (1，]
8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．
【解析】 ∵P＝，Q＝，＝＋，
∴R＝≤Q＝≤P＝，
当且仅当a＝b时取等号．
【答案】 P≥Q≥R
三、解答题
9．设a＞0，b＞0，c＞0.证明：
(1)＋≥；
(2)＋＋≥＋＋.
【证明】 (1)∵a＞0，b＞0，
∴(a＋b)
≥2·2＝4，
∴＋≥.
(2)由(1)知＋≥，
同时＋≥，＋≥，三式相加得：
2≥＋＋，
∴＋＋≥＋＋.
10．已知a≥1，求证：－＜－.
【证明】 要证原不等式成立，
只要证明＋＜2.
因为a≥1，＋＞0,2＞0，
所以只要证明2a＋2＜4a，
即证 ＜a.
所以只要证明a2－1＜a2，
即证－1＜0即可．
而－1＜0显然成立，
所以－＜－.
[能力提升]
1．若xy＋yz＋zx＝1，则x2＋y2＋z2与1的关系是( )
A．x2＋y2＋z2≥1 B．x2＋y2＋z2≤1
C．x2＋y2＋z2＝1 D.不确定
【解析】 x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥(2xy＋2yz＋2zx)＝1，当且仅当x＝y＝z＝时，取等号．
【答案】 A
2．设a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则M的取值范围是________．
【解析】 ∵a＋b＋c＝1，
∴M＝··
＝··
＝··
≥2·2·2＝8，
即M的取值范围是[8，＋∞)．
【答案】 [8，＋∞)
3．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：＜1.
【证明】 要证＜1，只需证|a＋b|＜|1＋ab|，
只需证a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2，
即证(1－a2)－b2(1－a2)＞0，
也就是(1－a2)(1－b2)＞0，
∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一个不等式显然成立．
因此原不等式成立．
4．若不等式＋＋＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
【解】 不等式可化为＋＞.
∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，
b－c＞0，a－c＞0，
∴λ＜＋恒成立．
∵＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴λ≤4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4]．
课 题： 第09课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：
例1、都是正数。求证：
证明：由重要不等式可得
本例的证明是综合法。
例2、设，求证
证法一 分析法
要证成立.
只需证成立，
又因，
只需证成立，
又需证成立，
即需证成立.
而显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
两边同时加上得
两边同时除以正数得（1）。
读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）
而采用综合法的证法二就是
如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。
证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。
为了证明上式成立，只需证明。
两边同乘以正数，得：。
因此，只需证明。
上式显然成立，所以 。
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明：。
证法一 因为 （2）
（3）
（4）
所以三式相加得 （5）
两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为
所以（1）成立。
例6、证明： （1）
证明 （1） （2）
（3）
（4）
（5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？
分析：本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明：
=
=
由于都是正数，所以而，
可知
即（等号在时成立）
探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：
，其中是互不相等的正数，且.
三、小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、练习：
1、已知求证：
2、已知求证
五、作业：
