选修4_5 不等式选讲
课 题： 第09课时 不等式的证明方法之三：反证法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：
例1、已知，求证：（且）
例1、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不
等式成立。
例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于
证：设(1 ( a)b >, (1 ( b)c >, (1 ( c)a >,
则三式相乘：ab < (1 ( a)b?(1 ( b)c?(1 ( c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 ( a)a?(1 ( b)b?(1 ( c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = (a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
三、小结：
四、练习：
1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则
2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ( a)c, (2 ( b)a, (2 ( c)b,不可能同时大于1
3、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。
提示：反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
五、作业：
第二讲 证明不等式的基本方法
2.3 反证法与放缩法
A级 基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是( )
A.＝ B. ＜
C. ＝，且＜ D. ＝或＜
解析：应假设≤，即＝或＜.
答案：D
2．实数a，b，c不全为0的等价命题为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
答案：D
3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
解析：至少有一个是的否定为都不是．
答案：B
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.
答案：C
5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．? D．(0，1)
解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，
所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.
答案：B
二、填空题
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜，那么它的假设应该是________．
答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
解析：因为＜＝＜＝1，
所以lg 9·lg 11＜1.
答案：lg 9·lg 11＜1
8．设a，b，c均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________条件．
解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．
答案：充要
三、解答题
9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：(反证法)设≥2，≥2，
则
由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．
所以，中至少有一个小于2.
10．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
B级 能力提升
1．若a＞0，b＞0，满足ab≥1＋a＋b ，那么( )
A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1 D．ab有最小值2＋2
解析：1＋a＋b≤ab≤，
所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，
解得a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2，故选A.
答案：A
2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小值为________．
解析：因为≥≥，且≥，
所以＋≥＋≥2 ＝，
当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．
答案：
3．若数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
证明：①当n＝1时，＝1<，所以原不等式成立．
②当n＝2时，
＋＝1＋<，所以原不等式成立．
③当n≥3时，
因为n2>(n－1)·(n＋1)，所以<.
＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＋＝1＋＋＋＋…＋＋＝1＋
＝1＋＝＋(－－)<.
所以当n≥3时，所以原不等式成立．
综上所述，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
课件50张PPT。三 反证法与放缩法【自主预习】
1.反证法
(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结
合已知条件,应用_______________________等,进行正
确的推理,得到和___________(或已证明的定理、性要证的命题不成立公理、定义、定理、性质命题的条件质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正
确,从而证明___________,我们把它称为反证法.
(2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命
题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问
题,常常用反证法证明.原命题成立2.放缩法
(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分
的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目
的,我们把这种方法称为放缩法.
(2)关键:放大(缩小)要适当.放大缩小【即时小测】
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用 ( )
(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论.
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4)【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB> ∠APC,求证:∠BAP<∠CAP用反证法证明时的假设为__________________.【解析】反证法对结论的否定是全面否定,
∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或
∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.【知识探究】
探究点 反证法与放缩法
1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能?
提示:①与原命题的条件矛盾;
②与假设矛盾;
③与定义、公理、定理、性质矛盾;
④与客观事实矛盾.2.用反证法证明命题“若p则q”时, ?q假,q即为真吗?
提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一, ?q是q的反面,若?q为假,则q必为真.【归纳总结】
1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设2.放缩法证明不等式的理论依据
(1)不等式的传递性.
(2)等量加不等量为不等量.
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.3.放缩法证明不等式常用的技巧
(1)增项或减项.
(2)在分式中增大或减小分子或分母.
(3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,
(4)利用函数的单调性等.类型一 利用反证法证明否定性命题
【典例】设0
(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.
【解题探究】典例中待证结论的反面是什么?
提示:待证结论的反面为 【证明】假设(2-a)·c>1,(2-b)·a>1,(2-c)·b>1,
则(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b>1 ①,
因为0所以(2-a)·a≤ =1.
同理:(2-b)·b≤1,(2-c)·c≤1.所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1,
这与①式矛盾.
所以假设不成立.
即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.【方法技巧】
1.用反证法证明的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.否定性不等式的证法及关注点
当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明
命题“如果a>b,那么 ”时,假设的内容是( )【解析】选C.结论 的否定是 或
成立.2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.
求证: 不成等差数列.
【证明】假设 成等差数列,则
即a+c+ =4b,
又三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= .所以a+c+2 =4 ,即a+c-2 =0,
所以( )2=0,所以 ,即a=c.
从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,
所以原假设错误,故 不成等差数列.类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题
【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?
提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 .【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,
所以f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,
则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.
所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不
成立.
故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .【延伸探究】
1.若本例条件变为“a3+b3=2”,求证:a+b≤2.
【证明】假设a+b>2,而a2-ab+b2=
但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,
所以a2-ab+b2>0.
则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.
所以1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.
所以a2+b2<1+ab<2.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.
而由假设a+b>2,得(a+b)2>4,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.
【证明】假设|f(1)|,|f(-1)|都小于2,
则有|f(1)|+|f(-1)|<4,(*)
又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)
=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.所以|f(1)|+|f(-1)|≥4与(*)矛盾,假设不成立.
故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【方法技巧】“至多”“至少”型问题的证明方法
(1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.(2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.【变式训练】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-
2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大于零.【证明】假设a,b,c都不大于零,则a≤0,b≤0,c≤0,
所以a+b+c≤0.
而a+b+c=
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,这与
a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.类型三 利用放缩法证明不等式
【典例】求证:
(n∈N+且n≥2).
【解题探究】典例中如何将 中的分母适
当放大或缩小转化为求和的形式?
提示: (n∈N+且n≥2).【证明】因为k(k+1)>k2>k(k-1),
所以
即 (k∈N+且k≥2).
分别令k=2,3,…,n得 将这些不等式相加得所以
即
(n∈N+且n≥2)成立.【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A(2)在分式中放大(缩小)分子(分母).
(3)应用基本不等式进行放缩.【变式训练】已知S=
(n是大于2的自然数),则有( )
A.S<1 B.2C.1又因为S= >1.【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn=
求证:T1+T2+T3+…+Tn< 【证明】因为a1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-
(21+22+…+2n)= (4n-1)+2(1-2n),
所以Tn= 从而T1+T2+T3+…+Tn=自我纠错 用放缩法证明不等式
【典例】设n为大于1的自然数,求证【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确解答过程如下:【证明】课件35张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法学业分层测评（八）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
【答案】 C
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是( )
A.＝
B.＜
C.＝且＜
D.＝或＜
【解析】 应假设≤，
即＝或＜.
【答案】 D
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
【答案】 C
4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则( )
A．M≥N B．M≤N
C．M>N D.M【解析】 依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，
从而有≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故选A.
【答案】 A
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】 ∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，
∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.
【答案】 C
二、填空题
6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________.
【答案】 a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0，
∴＜＝＜＝1，
∴lg 9·lg 11＜1.
【答案】 lg 9·lg 11＜1
8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．
【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，
∴M＝＋＋＋…＋
＜＝1.
【答案】 M＜1
三、解答题
9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．
【解】 2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，
由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，
得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝＝1＋≤1＋＝，
故c≤log2＝2－log23.
10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.
【证明】 k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．
若记Sn＝＋＋…＋，则
Sn>1＋2＋…＋n＝，
Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.
[能力提升]
1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
【解析】 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
【答案】 D
2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D.xy≥2(＋1)
【解析】 由已知
(x＋y)＋1＝xy≤，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.
∵x，y都是正实数，
∴x＞0，y＞0，
∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．
【答案】 A
3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．
【解析】 ∵a＞2，
∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
∴
＜，
而＝loga(a2－1)
＜logaa2＝1，
∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.
【答案】 ＜
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋),
(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.
【解】 (1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)，
∴a2＝22·a1＝16，a3＝2·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，
∴为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，
∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋
＜＋＋＋·
＝＋·
＜＋·＝＋
＝＝＜＝，所以结论成立．
课 题： 第10课时 不等式的证明方法之三：反证法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：
例1、已知，求证：（且）
例1、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不
等式成立。
例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于
四、练习：
1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则
2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ( a)c, (2 ( b)a, (2 ( c)b,不可能同时大于1
3、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。
提示：反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
五、作业：
