第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.1 二维形式的柯西不等式
3.2 一般形式的柯西不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1·＋2·≤·＝.
答案：B
2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为( )
A．4 B．2
C．8 D．9
解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值
所以3a＋2b≤2.
答案：B
3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )
A．2 B.
C．6 D．12
解析：(＋)2＝(1·＋1·)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
答案：D
4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D．9
解析：由柯西不等式得()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，所以(＋＋)2≤3×1＝3.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
所以＋＋的最大值为.故选B.
答案：B
5．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．不确定
解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，
当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．
所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.
答案：A
二、填空题
6．(2018·重庆模拟)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9.
令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x＞1，y＞3)，
于是＋＝＋，而(＋)2＝x＋y＋2≤x＋y＋(x＋y)＝18，
所以＋≤3.
此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，
故当a＝3.5，b＝1.5时，＋的最大值为3.
答案：3
7．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
答案：
8．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式得
(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝34(a＋b＋c)＋3]＝21，
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
故＋＋的最大值为.
答案：
三、解答题
9．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值；
(2)证明：＋＋≥.
(1)解：因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为.
(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)＝()2＋()2＋()2]·≥
＝.
所以＋＋≥.
10．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．
解：由柯西不等式
(2x2＋3y2)·≥
＝(x＋y)2＝1，
所以2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2x2＋3y2的最小值为.
B级 能力提升
1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为( )
A.，， B.，，
C．1，， D．1，，
解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.
答案：B
2．已知ω2＋x2＋y2＋z2＋F2＝16，则F＝8－ω－x－y－z的最大值为________．
解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.
答案：B
3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为－1，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
(1)解：因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为－1，1]，故m＝1.
(2)证明：由①知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，
由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥
＝9.
课件50张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式
一 二维形式的柯西不等式【自主预习】
二维形式的柯西不等式(ac+bd)2【即时小测】
1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( )
A. B.2 C. D.3
【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2,
所以- ≤2x+y≤ .
即2x+y的最大值为 .2.已知 =1,则以下成立的是( )
A.a2+b2>1 B.a2+b2=1
C.a2+b2<1 D.a2b2=1【解析】选B.由柯西不等式,得
≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,
当且仅当 时,上式取等号,
所以ab= 化为a2b2=(1-a2)(1-b2),
于是a2+b2=1.3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的
最小值为_________.
【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
又a2+b2=5,ma+nb=5,
所以m2+n2≥5,所以
答案: 【知识探究】
探究点 二维形式的的柯西不等式
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的
条件可以写成 吗?
提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但 不成立.2.用柯西不等式求最值时的关键是什么?
提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.【归纳总结】
1.柯西不等式三种形式的关系
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示.2.理解并记忆三种形式取“=”的条件
(1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.
(2)向量形式中当 =k 或 =0时取等号.
(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且P1,P2在原点O两旁时取等号.3.“二维”的含义
“二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.4.二维形式的柯西不等式的变式
(1) ≥|ac+bd|.
(2) ≥|ac|+|bd|.
(3) ≥ac+bd.类型一 利用柯西不等式证明不等式
【典例】求证:
【解题探究】本例证明的关键是什么?
提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.【证明】因为
=(x12+x22)+(y12+y22)+
由柯西不等式,得(x12+x22)( y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2,
其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.所以 ≥x1y1+x2y2,
所以 ≥(x12+x22)+(y12+y22)
+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.
所以
其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式的方法
利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法,才能找到突破口.【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证: +
+ ≥ (a+b+c).
【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.【证明】由柯西不等式: ≥a+b,
即 ≥a+b.
同理 ≥b+c,
≥c+a.将上面三个同向不等式相加得
( + + )≥2(a+b+c),
于是 + + ≥ (a+b+c).2.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·
( + )≥(a1+a2)2.
【证明】(a1b1+a2b2)( + )
=［( )2+( )2］［( )2+( )2]
≥( · + · )2
=(a1+a2)2.类型二 利用柯西不等式求最值
【典例】已知x,y,a,b∈R+,且 =1,求x+y的最
小值.【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不
等式的形式转化?
提示:关键是构造两组数 使得x+y=【解析】构造两组实数
因为x,y,a,b∈R+, =1,
所以x+y=[( )2+( )2] 当且仅当
等号成立.
所以(x+y)min=( + )2.【延伸探究】
1.若把本例中的题设条件“a,b∈R+且 =1”
改为“ =2”,结果如何?【解析】因为 =2,所以x+y=
当且仅当 时等号成立,
所以(x+y)min= .2.把本例已知改为 ,试比较x2+y2与(a+b)2
的大小.
【解析】由已知及柯西不等式得
x2+y2=(x2+y2)
≥ =(a+b)2.
即x2+y2≥(a+b)2.【方法技巧】利用二维形式的柯西不等式求最值的技巧
(1)求某些解析式的最小值时,要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式.(2)求某个解析式的最大值时,要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式.在构造过程中系数的选择是关键.【变式训练】
1.已知x,y∈R,且xy=1, 的最小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】选A.
当且仅当x=y=1等号成立.2.(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|解集为{x|2(1)求实数a,b的值.(2)求 的最大值.【解析】(1)由|x+a|则 解得a=-3,b=1.当且仅当
即t=1时等号成立,
故 【补偿训练】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.
【解题指南】3a+b是两部分和的形式,将其看作ac+bd的结构,利用柯西不等式求其最值.【解析】利用柯西不等式得,
(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)
=10×10=100,
即(3a+b)2≤100,
所以|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,
当且仅当a=3b时,等号成立.又a2+b2=10,
所以a2=9,b2=1.
所以当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值为-10;
当a=3,b=1时,3a+b有最大值为10.类型三 二维形式柯西不等式向量形式的应用
【典例】设a>0,b>0,且a+b=1,
求证: 【解题探究】如何构造向量,用向量形式的柯西不
等式证明?
提示:可构造如下向量形式:【证明】令
则| · |=
而| |=
又| |= ,所以| || |= ,
由| · |≤| || |,得 【延伸探究】在本例题设条件下,如何证明:(ax+by)2≤ax2+by2(其中x>0,y>0).【证明】设m=( x, y),n=( , ),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
=
=
所以(ax+by)2≤ax2+by2.【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最
值及证明不等式的技巧
在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或
证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通
常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式
一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.【变式训练】
1.已知a>b>c,若 恒成立,则k的最大
值为_________.【解析】设a= ,b=
由|a·b|≤|a||b|得2≤
即 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时,
等号成立.故kmax=4.
答案:42.求函数y= 的最大值及最小值.
【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,
设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),
由|a·b|≤|a||b|得|4-2y|≤ ,
解得 ≤y≤3,当且仅当 时,等号成立.
故最大值及最小值分别为3与 .自我纠错 求函数的最值
【典例】已知实数x,y满足 =1,求x2+2y2
的最小值.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误,以及忽视了等号成立的条件.【解析】由柯西不等式得x2+2y2=(x2+2y2)×1
=(x2+2y2)
当且仅当x2= y2时等号成立,
即x2= +1,y2= +1时,x2+2y2有最小值为3+2 .课件43张PPT。二 一般形式的柯西不等式【自主预习】
1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+
b32)≥_______________,当且仅当_____________或存
在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2bi=0(i=1,2,3)2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥__________________,当且仅当________________
或存在一个数k,使得ai=___(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2bi=0(i=1,2,…,n)kbi【即时小测】
1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为 ( )
A.4 B.6 C.9 D.3【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2
≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6≤a1b1+a2b2
+ a3b3≤6.2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式
x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为 ( )
A.6 B. C.8 D. 【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得
(x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有
x+2y+3z≤ ,当且仅当 时,取等号.
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立,可得a≥ 3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_________.
【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2,
所以a2+4b2+9c2≥12.
答案:12【知识探究】
探究点 一般形式的柯西不等式
1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
可以吗?
提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分
式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?
提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.【归纳总结】
1.对柯西不等式一般形式的说明
一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2.等号成立的条件
ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即: = =…=
或b1=b2=…=bn=0.3.柯西不等式的两个变式
(1)设ai∈R,bi>0(i=1,2,…,n), ,
当且仅当bi=λai时等号成立.
(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则
≥ ,当且仅当bi=λai时,等号成立.类型一 利用柯西不等式证明不等式
【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:
【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用
柯西不等式?
提示:9=(1+1+1)2.【证明】左边=[2(a+b+c)]· =
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· ≥
(1+1+1)2=9.
当且仅当a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.【变式训练】
1.已知a,b,c∈R+,求证:【证明】由柯西不等式知
所以原不等式成立.2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证:【证明】左边=
=[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]× 【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥
ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)
【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)
≥(ab+bc+cd+da)2,
所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.类型二 利用柯西不等式求最值
【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.
求 的最小值.
【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式子的分母有关的形式?
提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
因为a,b,c为正数,
所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]· 当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.
故 的最小值为 .【延伸探究】
1.本例 取得最小值时a,b,c的值是
什么?【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及
(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10得2(c+1)+2 (c+1)
+4(c+1)=10,
所以 2.若本例条件不变,改为求
的最大值.【解析】由柯西不等式得
当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= ,c= 时等号
成立,
所以 的最大值为3 .【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧
利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条件.【变式训练】1.设a,b,c为正数,a+2b+3c=13,则
的最大值为 ( )【解析】选C.根据柯西不等式,2.(2015·福建高考)已知a>0,b>0,c>0,函数
f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值.
(2)求 a2+ b2+c2的最小值.
【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|x－b|+c≥|(x+a)－
(x－b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c,
又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,
由柯西不等式得 (4+9+1)
≥ =(a+b+c)2=16,
即 a2+ b2+c2≥ ,当且仅当 ,
即 时等号成立,
故 a2+ b2+c2的最小值为 .自我纠错 求代数式的值
【典例】设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,
x+2y+3z= ,则x+y+z=_________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立
的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是
正确解答过程如下:【解析】由柯西不等式可知:
(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),
当且仅当 时取等号,
此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x= ,所以x= ,y= ,
z= ,
所以x+y+z= = .
答案: 课件38张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式选修4_5 不等式选讲
课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，
其中等号当且仅当时成立。
证明：
几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，
所以柯西不等式的几何意义就是：，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
分析：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
证明：构造二次函数：
即构造了一个二次函数：
由于对任意实数，恒成立，则其，
即：，
即：，
等号当且仅当，
即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
如果（）全为0，结论显然成立。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当
变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
二、典型例题：
例1、已知，，求证：。
例2、设，求证：。
例3、设为平面上的向量，则。
例4、已知均为正数，且，求证：。
方法1：
方法2：（应用柯西不等式）
例5：已知，，…，为实数，求证：。
分析：
推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。
三、小结：
四、练习：
1、设x1，x2，…，xn >0, 则
2、设（i=1，2，…，n）且 求证: ．
3、设a为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值．
4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．
五、作业：
1、已知：，,证明：。
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。
证明：由 代入=
可得
∵ ∴△≥0 即
化简可得 ： ∵ ∴
同理可得： ，
由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。
3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。
4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。
5、设x，y，z(R，求的最大值。
6、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。
解：s= (ABC面积= 且(ABC=(PAB+(PBC+(PAC ((4x+5y+6z= 由柯西不等式 (4x+5y+6z)2((x2+y2+z2)(42+52+62) (((x2+y2+z2)(77 (x2+y2+z2(
7、设三个正实数a,b,c满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。
8、求证个正实数a1，a2，…，an满足
9、已知,且??求证: 。
10、设,?求证: 。
11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值．
学业分层测评（十）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D.9
【解析】 由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
∴＋＋的最大值为.故选B.
【答案】 B
2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为( )
A．4 B．3
C．6 D.2
【解析】 ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥
2＝18.
∴＋＋≥2.
【答案】 D
3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D.不确定
【解析】 由柯西不等式知
≥a1＋a2＋…＋an，
∴·≥a1＋a2＋…＋an，
即得≥，∴P≥Q.
【答案】 B
4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为( )
A．1 B．6 C．11 D.
【解析】 ∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，
∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．
【答案】 D
5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )
A．24 B．30 C．36 D．48
【解析】 (x＋y＋z)
≥2＝36，
∴＋＋≥36.
【答案】 C
二、填空题
6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．
【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
【答案】
7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
【解析】 ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
【答案】 12
8．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．
【解析】 [(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋
(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，
∴－2≤3x－y－2z－5≤2，
即5－2≤3x－y－2z≤5＋2.
若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，
∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，
∴t＝－，∴x＝－＋1.
【答案】 [5－2，5＋2] －＋1
三、解答题
9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：＋＋≥；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
【解】 (1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，
即3≥1，
∴＋＋≥.
(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，
故4x＋4y＋4z2≥3＝3，
当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，
所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.
【证明】 由于f(x)＝ax2＋bx＋c，
且a，b，c大于0，
∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)
≥(x1·x2＋·＋c)2
＝(ax1x2＋b＋c)2
＝[f()]2＝[f(1)]2.
又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，
∴f(x1)·f(x2)≥1.
[能力提升]
1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．1 B．3
C．8 D.12
【解析】 ∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，
∴a＋＝
≥·3＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，
∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.
【答案】 B
2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
【答案】 C
3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________.
【解析】 由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
【答案】 4
4．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.
求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.
【证明】 由三角形中的正弦定理，得
sin A＝，所以＝，
同理＝，＝，
于是由柯西不等式可得
左边＝(a2＋b2＋c2)
≥2＝36R2，
∴原不等式得证．
学业分层测评（九）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为( )
A．1 B．2
C. D.4
【解析】 ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.
【答案】 C
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3
【解析】 ∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.
【答案】 C
3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是( )
A．P≤Q B．PC．P≥Q D.P>Q
【解析】 设m＝(x，y)，n＝(，)，
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|
＝·
＝·＝，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.
【答案】 A
4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D.(－，)
【解析】 (a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.
∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.
∴－2≤a－b≤2.
【答案】 A
5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为( )
A．1 B．2
C. D.
【解析】 ＋
＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.
∵a＋b＝1，ab≤＝，
∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)
≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，
∴＋≥＋4＝.
【答案】 C
二、填空题
6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．
【解析】 由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，
于是2x＋y≤.
【答案】
7．设xy＞0，则·的最小值为________．
【解析】 原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．
【答案】 9
8．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．
【解析】 (x＋2y)
＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，
∴＋≥.
【答案】
三、解答题
9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.
【证明】 设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|＝ ·
＝ ，
∴(a＋b)2≤＋.
10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.
【证明】 因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，
当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
[能力提升]
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B. C．3 D．5
【解析】 根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.
【答案】 B
2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是( )
A. B．1 C．3 D．9
【解析】 ∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
【答案】 A
3．函数f(x)＝＋的最大值为______．
【解析】 设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝
≤(1＋2)＝，
∴f(x)≤，
当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．
【答案】
4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．
【解】 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．
由柯西不等式
l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R
＝4R，
当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.
课 题： 第12课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，
其中等号当且仅当时成立。
证明：
几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，
所以柯西不等式的几何意义就是：，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
分析：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
证明：构造二次函数：
即构造了一个二次函数：
由于对任意实数，恒成立，则其，
即：，
即：，
等号当且仅当，
即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
如果（）全为0，结论显然成立。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当
变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
二、典型例题：
例1、已知，，求证：。
例2、设，求证：。
例3、设为平面上的向量，则。
例4、已知均为正数，且，求证：。
方法1：
方法2：（应用柯西不等式）
例5：已知，，…，为实数，求证：。
分析：
推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。
三、小结：
四、练习：
1、设x1，x2，…，xn >0, 则
2、设（i=1，2，…，n）且 求证: ．
3、设a为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值．
4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．
五、作业：
1、已知：，,证明：。
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。
证明：由 代入=
可得
∵ ∴△≥0 即
化简可得 ： ∵ ∴
同理可得： ，
由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。
3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。
4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。
5、设x，y，z(R，求的最大值。
7、设三个正实数a,b,c满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。
8、求证个正实数a1，a2，…，an满足
9、已知,且??求证: 。
10、设,?求证: 。
11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值．
