第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，
由乱序和不小于反序和知，
所以＋＋≥＋＋＝3，
所以＋＋的最小值为3，故选A.
答案：A
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元 B．400 元
C．450 元 D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．
答案：A
3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N B．M＝N
C．M＜N D．M＞N
解析：不妨设a≥b≥c＞0，
则a4≥b4≥c4，
运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，
又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，
即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.
答案：A
4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D.
解析：设a≥b≥c≥0，所以 ≥ ≥ .
由排序不等式可得a＋b＋c≤a＋b＋c.
而(a＋b＋c)2≤(a)2＋(b)2＋(c)2](1＋1＋1)＝9，即a＋b＋c≤3.
所以a＋b＋c≤3.
答案：C
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D．小于等于零
解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案：B
二、填空题
6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．
答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1
7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________．
解析：设a≥b≥c＞0，所以≥≥，
由排序原理，知＋＋≥＋＋，①
＋＋≥＋＋，②
①＋②得＋＋≥.
答案：
8．设a，b，c＞0，则＋＋________a＋b＋c.
解析：不妨设a≥b≥c＞0，
则≤≤，bc≤ac≤ab.
由顺序和≥乱序和，得
＋＋≥·bc＋·ac＋·ab＝c＋a＋b，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
答案：≥
三、解答题
9．对a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．
解：取两组数a，b，c和a2，b2，c2.
不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和；
a2b＋b2c＋c2a都是乱序和，
故有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.
10．设a，b，c大于0，求证：
(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；
(2)＋＋≤.
证明：(1)不妨设a≥b＞0，
则a2≥b2＞0.
所以a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，
所以a3＋b3≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．
所以＋＋≤＋＋＝＝·＝.
故原不等式得证．
B级 能力提升
1．若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2 B．a1b2＋a2b1
C．a1a2＋b1b2 D.
解析：因为0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，
且a1＋a2＝b1＋b2＝1，
所以a1a2＋b1b2≤＋＝.
由0＜a1＜a2，0＜b1＜b2及排序不等式知a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＜2(a1b1＋a2b2)，
所以a1b1＋a2b2＞.
答案：A
2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．
解析：不妨设a≥b＞0，
则有a2≥b2，且≥.
由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为1.
答案：1
3．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数．求证1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.
证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn，
因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，
所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n，
又因为1＞＞＞…＞，
所以由排序不等式，得a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·＝1＋＋＋…＋，
所以原不等式得证．
课件45张PPT。三 排序不等式【自主预习】
1.顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,
c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.(1)顺序和:________________.
(2)乱序和:________________.
(3)反序和:_________________.a1b1+a2b2+…+anbna1c1+a2c2+…+ancna1bn+a2bn-1+…+anb12.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,
…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_________________
≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当
a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.a1bn+a2bn-1+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn【即时小测】
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系
是 ( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3
A.ax+cy+bz B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则
的最大值是_________.
【解析】因为a,b,c≥0,
不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,
则 当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3,
所以a=b=c=1,
于是 的最大值为3.
答案:3【知识探究】
探究点 排序不等式
1.使用排序不等式的关键是什么?
提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是
否最大?反序和是否最小?
提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28,
乱序和S=1×4+2×6+3×5=31,
S=1×5+2×4+3×6=31,
S=1×5+2×6+3×4=29,S=1×6+2×4+3×5=29,
顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32.
由以上计算知S1所以顺序和最大,反序和最小.【归纳总结】
1.对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的
问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分
为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.2.排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.3.排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.4.排序原理的思想
在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,
它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,
我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序
排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.类型一 利用排序不等式求最值
【典例】设a,b,c为任意正数,求
的最小值.【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键是什么?
提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, ≥
≥ ,由排序不等式得,
+ + ≥ + +
+ + ≥ + + 上述两式相加得:
2 ( + + )≥3,即 + + ≥ .
当且仅当a=b=c时, + + 取最小值 .【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧
求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是_________,最小值是_________.
【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32;最小值为28.
答案:32 282.设0试求 的最小值.
【解析】令S= 由已知可得: 两式相加得:
所以S≥ 即 的最小值
为 类型二 利用排序不等式证明不等式
【典例】已知a,b,c都是正数,求证: 【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?
提示:将右端 变形为
将左端 构造为 的形式.【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,
则 ≥ ≥ .因而
又a5≥b5≥c5.
由排序不等式,得
≥ =又由不等式性质,知a2≥b2≥c2,
根据排序不等式,得
≥ = + + .
由不等式的传递性知
+ + ≤ = .【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为
如何证明呢?【证明】不妨设a≥b≥c,则 ,bc≤ca≤ab.
由排序原理,得
即 ≥a+b+c.
因为a,b,c为正数,所以abc>0,a+b+c>0,
所以 ≥abc.【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略
(1)利用排序不等式证明不等式时,若已知条件中已给出两组量的大小关系,则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和.利用排序不等式证明即可.(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来解题.【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P=
与1的大小关系为 ( )
A.P=1 B.P<1 C.P≥1 D.P≤1【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,
不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, .
由排序不等式
=x+y+z=1.
当且仅当x=y=z= 时等号成立,所以P≥1.【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都是乱序和,因此,
a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a,
a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b.
所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).自我纠错 判断两数的大小
【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数
Gn= ,算术平均数An= ,利用排序
不等式判断Gn,An的大小关系.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如下:【解析】令bi= (i=1,2,…,n),则b1b2…bn=1,
故可取x1,x2,…,xn>0,
使得b1= ,b2= ,…,bn-1= ,bn= .
由排序不等式有:b1+b2+…+bn= ≥
x1· +x2· +…+xn· =n,当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以
≥n,即 ≥Gn.即An≥Gn.课件36张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式选修4_5 不等式选讲
课 题： 第12课时 几个著名的不等式之二：排序不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数：≤≤，≤≤，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
对 应 关 系
和
备 注
（，，）
（，，）
同序和
（，，）
（，，）
乱序和
（，，）
（，， ）
乱序和
（，，）
（， ，）
乱序和
（，，）
（，，）
乱序和
（，，）
（，， ）
反序和
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：
同序和最大，反序和最小。
2、对引例的验证：
对 应 关 系
和
备 注
（1，2，3）
（25，30，45）
同序和
（1，2，3）
（25，45，30）
乱序和
（1，2，3）
（30，25，45）
乱序和
（1，2，3）
（30，45，25）
乱序和
（1，2，3）
（45，25，30）
乱序和
（1，2，3）
（45，30，25）
反序和
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数：，，，…，与，，，…，，且它们满足：
≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，
若，，，…，是，，，…，的任意一个排列，则和数在，，，…，与，，，…，同序时最大，反序时最小，即：
，
等号当且仅当或时成立。
分析：用逐步调整法
三、典型例题：
例1、已知为正数，求证：。
例2、设，，，…，为正数，求证：。
四、小结：
五、练习：
六、作业：
1、求证：。
2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc ．
3、若a>0,b>0，则．
4、在△ABC中，求证：．（IMO）
5、若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证：．
6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤，则．
学业分层测评（十一）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q C．P【解析】 ∵a≥b>0，∴a2≥b2>0.
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，
则P≥Q.
【答案】 B
2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )
A．反序和≥乱序和≥顺序和
B．反序和＝乱序和＝顺序和
C．反序和≤乱序和≤顺序和
D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定
【答案】 C
3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D.12
【解析】 设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和知，
＋＋≥＋＋＝3，
∴＋＋的最小值为3，故选A.
【答案】 A
4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B B．A＜B
C．A≥B D.A≤B
【解析】 依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.
【答案】 C
5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D.小于等于零
【解析】 设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
【答案】 B
二、填空题
6．若a，b，c∈R＋，则＋＋________a＋b＋c.
【解析】 不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，≤≤，
∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c.
【答案】 ≥
7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.
【解析】 等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．
【答案】 41
8．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋的最小值为________.
【解析】 不妨设a3>a1>a2>0，则<<，
所以a1a2设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，
顺序和S′＝＋＋.
由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，
所以＋＋的最小值为1.
【答案】 1
三、解答题
9．设a，b，c大于0，求证：
(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；
(2)＋＋≤.
【证明】 (1)不妨设a≥b≥c>0，
则a2≥b2≥c2>0，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，
∴a3＋b3≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
所以＋＋
≤＋
＋
＝
＝·＝.
故原不等式得证．
10．已知a，b，c都是正数，求＋＋的最小值．
【解】 由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤.
由排序不等式得
＋＋
≥＋＋，①
＋＋≥＋＋.②
由①②知2≥3，
∴＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
[能力提升]
1．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D.不能确定
【解析】 不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，
cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A
＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.
【答案】 C
2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，则＋＋的最小值是________．
【解析】 不妨设a≥b≥c，∴≥≥，
∴＋＋≥＋＋，①
＋＋≥＋＋，②
①＋②得＋＋≥，
∴＋＋≥.
【答案】
3．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________.
【解析】 不妨设a≥b＞0，
则A≥B＞0，由排序不等式
?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)，
∴aA＋bB≥(a＋b)．
【答案】 aA＋bB≥(a＋b)
4．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
【证明】 ∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数，
∴0cos β>cos γ>0.
根据排序不等式得：乱序和>反序和．
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
故原不等式得证．
课 题： 第13课时 几个著名的不等式之二：排序不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数：≤≤，≤≤，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
对 应 关 系
和
备 注
（，，）
（，，）
同序和
（，，）
（，，）
乱序和
（，，）
（，， ）
乱序和
（，，）
（， ，）
乱序和
（，，）
（，，）
乱序和
（，，）
（，， ）
反序和
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：
同序和最大，反序和最小。
2、对引例的验证：
对 应 关 系
和
备 注
（1，2，3）
（25，30，45）
同序和
（1，2，3）
（25，45，30）
乱序和
（1，2，3）
（30，25，45）
乱序和
（1，2，3）
（30，45，25）
乱序和
（1，2，3）
（45，25，30）
乱序和
（1，2，3）
（45，30，25）
反序和
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数：，，，…，与，，，…，，且它们满足：
≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，
若，，，…，是，，，…，的任意一个排列，则和数在，，，…，与，，，…，同序时最大，反序时最小，即：
，
等号当且仅当或时成立。
分析：用逐步调整法
四、小结：
五、练习：
六、作业：
1、求证：。
2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc ．
3、若a>0,b>0，则．
4、在△ABC中，求证：．（IMO）
5、若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证：．
6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤，则．
