第四讲 数学归纳法证明不等式
4.1 数学归纳法
A级 基础巩固
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：D
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：边数最少的凸n边形是三角形．
答案：C
3．在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1.依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
解析：由条件知：a2＝a1＋2×2－1＝22，
a3＝a2＋2×3－1＝32，
a4＝a3＋2×4－1＝42，猜想an＝n2.
答案：B
4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取什么值无关
D．以上答案都不对
解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．
答案：B
5．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 011次操作后得到的数是( )
A．25 B．250 C．55 D．133
解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，操作后得到的数呈周期性变化，周期为3次，2 011＝670×3＋1，故第2 011次操作后得到的数是133.
答案：D
二、填空题
6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
解析：因为n＝k时，
命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
所以n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.
答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．
解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.
答案：212
8．用数学归纳法证明“n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________，从k到k＋1时需添加的项是________．
答案：1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，
右边＝＝.
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
…＝
·＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除．
证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确．
(2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除．
则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)，
因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除，
因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除．
即当n＝k＋1时结论正确．
根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除．
B级 能力提升
1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)．
当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋1](k＋1)＋2]…(k＋1)＋k]·(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．
比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．
答案：B
2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为_______________．
解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
答案：81· (34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋1
3．已知正数数列{an}中，前n项和Sn＝.
(1)求a1，a2，a3，a4；
(2)推测{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解：(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－，a4＝－.
(2)an＝－
①a1＝1，a2＝－1，a3＝－，a4＝－.
②猜想an＝－(n∈N＋)．
(ⅰ)当n＝1时，a1＝－＝1，结论成立；
(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)成立，
即ak＝－.
则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝
－，
整理得(ak＋1＋)2＝k＋1，
所以ak＋1＝－.
综合(ⅰ)(ⅱ)知， an＝－对所有正整数n都成立．
课件65张PPT。第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法【自主预习】
1.数学归纳法的定义
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的
所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当____时命题成立.n=n0(2)假设当__________________时命题成立,证明______
时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0
的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+12.数学归纳法的步骤【即时小测】
1.下列四个判断中,正确的是 ( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+kC.式子 (n∈N*)当n=1时为
D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)=【解析】选C.A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时应为
1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时
应为1,故B不正确;C.式子 (n∈N*)
当n=1时为 正确;
D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)=
故D不正确.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)
=2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需
增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),
当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),
故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为
=2(2k+1).【知识探究】
探究点 数学归纳法
1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示:不一定.2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有
第二步可以吗?为什么?
提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺
少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单
靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否
正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了.【归纳总结】
1.数学归纳法的适用范围
数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.2.数学归纳法中两步的作用
在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推理的延续性.3.运用数学归纳法的关键
运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.类型一 利用数学归纳法证明恒等式
【典例】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1
(n≥2,n∈N+)
(1)求a2,a3.
(2)求证:an= 【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什么?
提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.
(2)用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1= ,所以命题成立.
②假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即ak= ,
那么当n=k+1时,
ak+1=ak+3k= 即n=k+1时,命题也成立.
由①②知命题对n∈N+都成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1
= a≠1,n∈N*”,在验证n=1成立时,左边计算
所得项是 ( )
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得
项是1+a+a22.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原
因,并加以改正.
用数学归纳法证明:
1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= =1,等式成立.(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1
=(-1)k-1·
则当n=k+1时,有
1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)与(2)知,对任意n∈N+等式成立.【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,而是直接利用等比数列的求和公式,这是错误的.第二步正确证法应为:当n=k+1时,1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k2k
=(-1)k-1· +(-1)k·2k
=-(-1)k· +(-1)k·2k+
=
即当n=k+1时,等式也成立.类型二 利用数学归纳法证明整除问题
【典例】设x∈N+,n∈N+,求证:xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除.【解题探究】证明一个与n有关的式子f(n)能被另一个数m(或一个代数式g(m))整除的关键是什么?
提示:关键是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到被除式中分解出的(x2+x+1).【证明】(1)当n=1时,x3+(x+1)3=[x+(x+1)]·[x2-x(x+1)+(x+1)2]=(2x+1)(x2+x+1),结论成立.
(2)假设n=k时,结论成立,即
xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,
那么当n=k+1时,x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1=x·xk+2+(x+1)2(x+1)2k+1
=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x+1)2(x+1)2k+1-x(x+1)2k+1
=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x2+x+1)(x+1)2k+1.
由假设知,xk+2+(x+1)2k+1及x2+x+1均能被x2+x+1整除,故x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立.
由(1)(2)知,原结论成立.【延伸探究】
1.若将本例中的代数式xn+2+(x+1)2n+1和x2+x+1分别改为42n+1+3n+2和13,如何证明?【证明】(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.
(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
因为42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,所以当n=k+1时结论也成立.
由(1)(2)知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.2.若把本例改为求证:两个连续正整数的积能被2整除.
【证明】设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.
(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即k·(k+1)能被2整除.
那么当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),
由归纳假设知k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题的关键点
(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明,其中关键问题是从n=k+1时的表达式中分解出n=k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.【变式训练】
1.用数学归纳法证明“n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除”时,某同学证法如下:
(1)n=1时1×2×3=6能被6整除,
所以n=1时命题成立.(2)假设n=k时成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么n=k+1时,
(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)[k+(k+3)]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).因为k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数.
所以其积能被6整除.故n=k+1时命题成立.
综合(1),(2),对一切n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
这种证明不是数学归纳法,主要原因是_________.【解析】由证明过程知,在证明当n=k+1命题成立的过程中,没有应用归纳假设,故不是数学归纳法.
答案:在证明当n=k+1命题成立的过程中没有应用归纳假设2.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,62k-1+1能被7整除.
那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1
=36(62k-1+1)-35.因为62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,
所以当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.
由(1),(2)知命题成立.类型三 用数学归纳法证明几何问题
【典例】平面上有n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任意
两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,
求证:这n条直线共有f(n)= 个交点.【解题探究】本例中的初始值应该验证哪个值?
提示:题中的初始值验证应该结合题目中的n≥2,所以需要验证n=2.【证明】(1)当n=2时,两条不平行的直线共有1个交点,
而f(2)= =1,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时命题成立,就是该平
面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)=
k(k-1),则当n=k+1时,任取其中一条直线记为l,如图,剩下的k条直线为l1,l2,…,lk.
由归纳假设知,它们之间的交点个数为f(k)= .由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,
所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个.
所以f(k+1)=f(k)+k=
所以当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+且n≥2都成立.【延伸探究】本例中若把条件“n≥2”删掉,其余不变,
你能证明这n条直线把平面分成f(n)= 个部分吗?【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,
而f(1)= =2,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面
分成
f(k)= 个部分.则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了(k+1)个部分.因为f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1
= = ,
所以当n=k+1时,命题成立.
由(1)(2)可知,当n∈N+时,命题成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明几何问题的技巧
(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式,然后加以证明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般结论.(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n=k与n=k+1时二者的差异,这时常常借助于图形的直观性,然后用数学式子予以描述,建立起f(k)与f(k+1)之间的递推关系,实在分析不出的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可.(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式,还要注意结论要有必要的文字说明.【变式训练】1.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1
边形的内角和f(k+1)=f(k)+ ( )
A. B.π
C.2π D. π
【解析】选B.由n=3到n=4知内角和增加π.2.已知n个圆中每两个圆相交于两点,且无三圆过同一点,用数学归纳法证明这n个圆把平面分成n2-n+2部分.
【证明】(1)当n=1时,1个圆把平面分成两部分,而2=12-1+2,所以当n=1时,命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2部分.
当n=k+1时,平面上增加第k+1个圆,它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点,共2k个交点,而这2k个交点把第k+1个圆分成2k段弧,每段弧把原来的区域隔成了两块区域,所以区域的块数增加了2k块.所以k+1个圆把平面划分的块数为
(k2-k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2-(k+1)+2,
所以当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2)知,命题对n∈N+都成立.自我纠错 恒等式项数问题
【典例】设f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),
求f(n+1)-f(n)的表达式.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是利用数学归纳法处理问题时,
弄错项数而致误.实际上在取第n+1项时,f(n+1)比f(n)
应增加了三项: + + .【解析】因为f(n)=1+ + +…+ ,
所以f(n+1)=1+ + +…+ + + + ,
所以f(n+1)-f(n)= + + .课件53张PPT。第四讲 数学归纳法证明不等式选修4_5 不等式选讲
课 题： 第16课时 数学归纳法与不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这
是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。
二、典型例题：
例1、证明：。
例2、设，，证明贝努利不等式：。
例3、设为正数，，证明：。
例4、设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
例5、已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、
S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
解：计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜测S＝ (n∈N)
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和
例6、设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1)
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1、设f(logx)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)。
2、已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
3、用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝(81年全国高考)
4、用数学归纳法证明：6＋1 (n∈N)能被7整除。
学业分层测评（十二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
【解析】 因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故选D.
【答案】 D
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2
C．3 D.0
【解析】 边数最少的凸n边形是三角形．
【答案】 C
3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝＝，
猜想an＝.
【答案】 D
4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
【解析】 当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．
【答案】 C
5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上( )
A. B．π
C．2π D.π
【解析】 从n＝k到n＝k＋1时，
内角和增加π.
【答案】 B
二、填空题
6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．
【答案】 1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1·
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
【解析】 ∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
【答案】 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．
【解析】 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
【答案】 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
…
＝·＝
＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．
【证明】 (1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．
[能力提升]
1．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
【解析】 因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.
【答案】 D
2．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：
证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：
(2)假设n＝k时有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )
A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
【解析】 证明＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设＜k＋1.
【答案】 A
3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．
【解析】 ∵所证明的等式为
22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n＞1)．
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，
∴n应为2.
又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，
即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
【答案】 2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
4．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．
【解】 存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组得
故原等式右边＝－.
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.
则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切n∈N＋均成立．
课 题： 第17课时 数学归纳法与不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这
是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。
二、典型例题：
例1、证明：。
例2、设，，证明贝努利不等式：。
例3、设为正数，，证明：。
例4、设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
例5、已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、
S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
解：计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜测S＝ (n∈N)
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和
例6、设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1)三、小结：
四、练习：
