第四讲 数学归纳法证明不等式
4.2 用数学归纳法证明不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
解析：由题意n≥3知应验证n＝3.
答案：C
2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.
答案：C
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
答案：B
4．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是( )
A.
B.＋
C.＋－
D.＋－－
解析：当n＝k时，不等式为
＋＋…＋≥.
当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.
比较n＝k与n＝k＋1的左边，
可知应添加的项为＋－.
答案：C
5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)]max＞，
所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.
答案：B
二、填空题
6．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞_______．
解析：由贝努利不等式知(1＋x)n＞1＋nx.
答案：1＋nx
7．设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分．
答案：2k
8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．
解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．
答案：
三、解答题
9．求证：1＋＋＋…＋≥.
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左式＝右式．
当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝＝，＞，
左边＞右边．
故当n＝1或n＝2时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，有1＋＋＋…＋≥.
则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋≥＋＝.
因为－＝＞0，
所以＞＝右边．
由不等式的传递性可得：左边＞右边．
故当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N*原不等式都成立．
10．设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a.
求证：对于任意的n∈N*，都有1＜an＜.
证明：(1)当n＝1时，a1＞1，又a1＝1＋a＜，显然命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立．
即1＜ak＜.
当n＝k＋1(k∈N＋)时，由递推公式可知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.
同时ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜.
所以当n＝k＋1(k∈N＋)时，命题也成立，
即1＜ak＋1＜.
由(1)(2)可知对于任意的n∈N＋，都有1＜an＜.
B级 能力提升
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k项．
答案：D
2．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项an＝________．
解析：可用两种方法求解．
法一：分别令n＝1，2，3求出a2＝，a3＝，通过不完全归纳法知，an＝.
法二：对已知等式因式分解得(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0.由an＞0知＝，再由累乘法求得an＝.
答案：
3．设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论．
解：法一：a2＝2，a3＝＋1.
再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
从而{ (an－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．
法二：a2＝2，a3＝＋1.
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论显然成立．
假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，
则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
所以an＝＋1(n∈N*)．
(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，则c＝－1，解得c＝.
下用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n＋1＜1.
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，
所以a2＜＜a2＜1，结论成立．
假设n＝k时结论成立，即a2k＜c＜a2k＋1＜1.
易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，
从而c＝f(c)＞f(a2k＋1)＞f(1)＝a2，
即1＞c＞a2k＋1＞a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)＜f(a2k＋2)＜f(a2)＝a3＜1.
故c＜a2k＋3＜1，因此a2(k＋1)＋1＜1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.
课件69张PPT。二 用数学归纳法证明不等式举例【自主预习】
贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有
___________.(1+x)n>1+nx【即时小测】
1.用数学归纳法证明不等式
成立,起始值至少应取为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.左边的和为 =2-21-n,当n=8时,
和为2-2-7> 2.用数学归纳法证明:
(n≥2,n∈N*)时第一步需要证明 ( )【解析】选C.用数学归纳法证明
(n≥2,n∈N*),
第一步应验证不等式为: 【知识探究】
探究点 贝努利不等式
1.在应用贝努利不等式时应注意什么?
提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且x≠0,n是大于1的自然数.2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?
提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.【归纳总结】
1.贝努利不等式成立的两个条件
一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R.
二是n为大于1的自然数.2.贝努利不等式的推广
当指数n推广到任意实数α时,x>-1时,
①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;
②若α<0或α>1,则(1+x)α≥1+αx.
当且仅当x=0时等号成立.类型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系
【典例】已知f(x)= .对于n∈N+,试比较
f( )与 的大小并说明理由.【解题探究】解答本例的解题方向是什么?
提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.【解析】根据题意f(x)=
所以要比较f( )与 的大小,只需比较2n与n2
的大小即可,当n=1时,21=2>12=1,
当n=2时,22=4=22,
当n=3时,23=8<32=9,
当n=4时,24=16=42,
当n=5时,25=32>52=25,
当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,
下面用数学归纳法加以证明.
(1)当n=5时,2n>n2显然成立.
(2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,
即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-
2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).
由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.
综上所述,当n=1或n≥5时,f( )> ;
当n=2或n=4时,f( )= ;
当n=3时,f( )< .【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法
利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,
且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)
≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是 ( )A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.根据题中条件可知:由f(k)≥k2,必能推得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因为D中f(4)=25>42,故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)= (其中e
为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都
有f 0时,f(x)= ,
所以f =x2e-x
考虑到:x>0时,不等式f x2e-x所以只要用数学归纳法证明不等式(*)对一切n∈N+
都成立即可.(1)当n=1时,设g(x)=ex-x(x>0).
因为x>0时,g′(x)=ex-1>0,
所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,
故g(x)>g(0)=1>0,
即ex>x(x>0),
所以,当n=1时,不等式(*)成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立,
即xk当n=k+1时,设h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0),
有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk
=(k+1)(k!·ex-xk)>0,故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数,
所以h(x)>h(0)=(k+1)!>0,
即xk+1<(k+1)!·ex,
这说明当n=k+1时不等式(*)也成立,
根据(1)(2)可知不等式(*)对一切n∈N*都成立,
故原不等式对一切n∈N+都成立.类型二 数学归纳法证明不等式
【典例】已知Sn= (n>1,n∈N+),求证:
(n≥2,n∈N+).【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?
提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.【证明】(1)当n=2时,S4=
即当n=2时命题成立.
(2)假设n=k(k≥2,n∈N+)时命题成立,
即
当n=k+1时,故当n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对n∈N+,n≥2, 都成立.【延伸探究】
1.将本例中所要证明的不等式改为:
(n≥2,n∈N+),如何证明?【证明】(1)当n=2时,左边=
因为
所以左边>右边,原不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,
即
则当n=k+1时,左边= 所以,当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2)可知,对n≥2,且n∈N+,不等式都成立.2.若在本例中,条件变为“设f(n)=
(n∈N+),由f(1)=1> ,f(3)>1,f(7)> ,
f(15)>2,…”.试问:f(2n-1)与 大小关系如何?
试猜想并加以证明.【解析】数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数
列 ,1, ,2,…通项公式为an= ,
所以猜想:f(2n-1)> .下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1> ,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即f(2k-1)> ,
则f(2k+1-1)=f(2k-1)+ 所以当n=k+1时,不等式也成立.
据(1),(2)知对任何n∈N+原不等式均成立.【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.【变式训练】1.已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),
经计算得:f(4)>2,f(8)> f(16)>3,f(32)>
…
观察上述结论,可归纳出一般结论为_________.【解析】将已知计算结果变形为
归纳结论为f(2n)>
答案:f(2n)> 2.证明: (n∈N+,n≥2).
【证明】(1)当n=2时,左边=1+ ,右边=
2- ,由于 ,故不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即
则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.
由(1),(2)知,原不等式对一切n∈N+,n≥2都成立.【补偿训练】数列{an}中,a1=1,an+1=1+ 求证:
当n≥2且n∈N+时,
【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且
不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,有
则当n=k+1时,ak+1=
(分析法证明)要证
只需证ak< 即ak< (由假设可知成立),所以
由(1)(2)知,当n≥2,且n∈N+时,
成立.类型三 利用数学归纳法证明数列不等式
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足
a1= ,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)判断 是否为等差数列,并证明你的结论.
(2)证明 (n≥1且n∈N+).【解题探究】本例中an与Sn的关系式是什么?
提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1.【解析】(1) 是等差数列,证明如下:
S1=a1= ,所以 =2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.
所以 =2.故 是以2为首项,2为公差的
等差数列.(2)①当n=1时, ,不等式成立.
②假设n=k(k≥1)时,不等式成立,
即 成立,
则当n=k+1时, 即当n=k+1时,不等式成立.
由①,②可知对任意n∈N+不等式都成立.【延伸探究】本例中若将“an+2SnSn-1=0(n≥2)”改为
“an+1= (n∈N+)”,那么数列{a2n}的单调性怎样?
证明你的结论.【解析】由a1= ,an+1= ,得a2= ,a4= ,a6= .
由a2>a4>a6,猜想:数列{a2n}是递减数列.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即a2k>a2k+2,易知an>0,那么:
即a2(k+1)>a2(k+1)+2
也就是说,当n=k+1时,命题也成立.
综上(1)(2)可知,命题成立.【方法技巧】求解数学归纳法与数列的综合问题的策略
(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础.(2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.【变式训练】1.(2014·赣榆县校级期末)已知f(n)=
(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>
时,f(2k+1)-f(2k)等于_________.【解析】因为假设n=k时,f(2k)=
当n=k+1时,f(2k+1)=
所以f(2k+1)-f(2k)=
答案: 2.已知数列 …,Sn为该
数列的前n项和,计算得
观察上述结果,推测出Sn(n∈N+),并用数学归纳法加
以证明.【解析】推测Sn= (n∈N+).
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,S1= ,等式成立;
(2)假设当n=k时等式成立,即Sk= ,
那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+ 也就是说,当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知一切n∈N+,等式均成立.自我纠错 用数学归纳法证明不等式
【典例】用数学归纳法证明:
(其中n∈N*).【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是证明过程中从n=k到n=k+1的证明错误.正确解答过程如下:【证明】(1)当n=1时,1<2成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即
成立,
那么,当n=k+1时,即当n=k+1时,不等式也成立.
综合上述,由(1)(2)知对任意正整数n,不等式
都成立.课件36张PPT。第四讲 数学归纳法证明不等式学业分层测评（十三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
【解析】 根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．
【答案】 D
2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )
A．n0＝1 B．n0＝2
C．n0＝1,2 D.以上答案均不正确
【解析】 需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．
【答案】 A
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
【解析】 1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．
【答案】 D
4．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D.不存在
【解析】 令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的，
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意>，∴m<14.因此取m＝13.
【答案】 B
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
【解析】 ∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，少了一项.
【答案】 C
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．
【解析】 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
【答案】 21＋1≥12＋1＋2
7．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
【解析】 当n＝2时，要证明的式子为
2＜1＋＋＋＜3.
【答案】 2＜1＋＋＋＜3
8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．
【解析】 由题中已知不等式可猜想：
＋＋＋…＋
≥(n≥3且n∈N＋)．
【答案】 ＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
【解】 (1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
∴－＝2.
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．
【证明】 由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
[能力提升]
1．对于正整数n，下列不等式不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D.0.1n≤1－0.9n
【解析】 排除法，取n＝2，只有C不成立．
【答案】 C
2．利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为________.
【解析】 n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.
【答案】 2
3．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为____________________.
【解析】 当n＝1时，M＝a＋b＝N，
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，
当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，
归纳得M≥N.
【答案】 M≥N
4．已知f(x)＝，对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．
【解】 据题意f(x)＝＝＝1－，
∴f()＝1－.
又＝1－，∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，
当n＝1时，21＝2＞12＝1，
当n＝2时，22＝4＝22，
当n＝3时，23＝8＜32＝9，
当n＝4时，24＝16＝42，
当n＝5时，25＝32＞52＝25，
当n＝6时，26＝64＞62＝36.
故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，
下面用数学归纳法加以证明．
(1)当n＝5时，不等式显然成立．
(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＞k2.
则当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1
＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，
即n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)(2)可知，
对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．
综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞，
当n＝2或n＝4时，f()＝，
当n＝3时，f()＜.
