1. 1.1 集合的含义及其表示方法（1）教案
【教学目标】
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
【教学重难点】
教学重点:集合的基本概念与表示方法.
教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
【教学过程】
一、导入新课
军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.
二、提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.
⑤能,是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
结论：
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 a(A
3、集合的中元素的三个特性：
（1）.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2.）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合
（3）.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.
活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.
结论：
常见数集的专用符号.
N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);
N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);
Z:整数集(全体整数的集合);
Q:有理数集(全体有理数的集合);
R:实数集(全体实数的集合).
三、 例题
例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点
分析：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.
答案：B
变式训练1
1.下列条件能形成集合的是( D )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
例题2．下列结论中，不正确的是( )
A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则
分析：(1)元素与集合的关系及其符号表示;(2)特殊集合的表示方法;
答案：A
变式训练2判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中（ × ）
(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( √ )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ×）
(4)所有不在Q中的实数都在R中（√ ）
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ×）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ √ ）
四、课堂小结
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征，其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.
“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3、常见数集的专用符号.
【板书设计】
集合概念
定义
三要素
二、常用集合
典型例题
例1： 例2：
【作业布置】预习下一节学案。
1.1.1 集合的含义及其表示方法（1）
课前预习学案
一、预习目标：
初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法
二、预习内容：
阅读教材填空：
1 、集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的 （或 ）。构成集合的每个对象叫做这个集合的
（或 ）。
2、集合与元素的表示：集合通常用 来表示，它们的元素通常用 来表示。
3、元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就说 ，记作 ，读作 。
如果a不是集合A的元素，就说 ，记作 ，读作 。
4.常用的数集及其记号：
（1）自然数集： ，记作 。
（2）正整数集： ，记作 。
（3）整数集： ，记作 。
（4）有理数集： ，记作 。
（5）实数集： ，记作 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
学习重点:集合的基本概念与表示方法.
学习难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
二、学习过程
1、 核对预习学案中的答案
2、 思考下列问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
3、集合元素的三要素是 、 、 。
4、例题
例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点
变式训练1
1.下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人
C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
例题2．下列结论中，不正确的是( )
A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则
变式训练2判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中（ ）
(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ）
(4)所有不在Q中的实数都在R中（ ）
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ）
5、 课堂小结
三、当堂检测
1、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。
你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？
2、
（1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） Q； （4）0 Φ?；
（5） Q； （6） R； （7）1 N+； （8） R。
课后练习与提高
1.下列对象能否组成集合:
(1)数组1、3、5、7;
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
(3)满足3x-2>x+3的全体实数;
(4)所有直角三角形;
(5)美国NBA的著名篮球明星;
(6)所有绝对值等于6的数;
(7)所有绝对值小于3的整数;
(8)中国男子足球队中技术很差的队员;
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
2.(口答)说出下面集合中的元素:
(1){大于3小于11的偶数};
(2){平方等于1的数};
(3){15的正约数}.
3.用符号∈或填空:
(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N;
(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z;
(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q;
(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R.
4.判断正误:
(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )
(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )
(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )
(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立. ( )
参考答案
1:(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合，（5）（8）不能组成集合
2：（1）其元素为4，6，8，10
（2）其元素为-1，1
（3）其元素为1，3，5，15
3：（1）∈ ∈ ? ? ?
（2）∈ ∈ ∈ ? ?
（3）∈ ∈ ∈ ∈ ?
（4）∈ ∈ ∈ ∈ ∈
4：（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√
1. 1.1 集合的含义及其表示方法（2）教案
【教学目标】
1、集合和元素的表示法；
2、掌握一些常用的数集及其记法
3、掌握集合两种表示法：列举法、描述法。
【教学重难点】
集合的两种表示法：列举法和描述法。
【教学过程】
一、导入新课
复习提问：
集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？
那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题)
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合
二、新课讲授
（1）、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}
由“maths中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}
由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}
注：
（1） 有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2） a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
（3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
学生自主完成P4 例题1
（2）、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
例:不等式的解集可以表示为：或
“中国的直辖市”构成的集合，写成{为中国的直辖市}；
“方程x2+5x-6=0的实数解” {x∈R| x2+5x-6=0}={-6，1}
学生自主完成P5例题2
三、例题讲解
例题1.用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)方程x2-9=0的解组成的集合;
(4){15以内的质数};
(5){x|∈Z,x∈Z}.
分析:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素,明确各个集合中的元素,写在大括号内即可
提示学生注意:
(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;
(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;
(5)中3-x是6的约数,6的约数有±1, ±2, ±3, ±6.
解: (1)满足题设条件小于5的正奇数有1,3,故用列举法表示为{1,3};
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6,9,12,故用列举法表示为{6,9,12};
(3)方程x2-9=0的解为-3,3,故用列举法表示为{-3,3};
(4)15以内的质数有2,3,5,7,11,13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}
(5)满足的x有3-x=±1, ±2, ±3, ±6.解之,得x=2,4,1,5,0,6,-3,9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}
变式训练1
用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合;
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};
(3)方程x2+6x+9=0的解集;
(4){20以内的质数};
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};
(6){大于0小于3的整数};
(7){x∈R|x2+5x-14=0};
(8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
分析：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:
(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;
(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;
(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x
解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则
二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2};
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则
数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};
(3)不等式x-7<3的解是x<10,则
不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.
点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.
用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.
变式训练2
用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集;
(2)小于10的所有非负整数的集合;
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
(6)方程组的解的集合;
(7){1,3,5,7,…};
(8)x轴上所有点的集合;
(9)非负偶数;
(10)能被3整除的整数.
答案：(1)、{(x,y)|2x+y=5};
(2)、{x|0≤x<10,x∈Z};
(3)、{(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};
(4)、{x||x|>3};
(5)、{(x,y)|xy<0};
(6)、{(x,y)|};
(7)、{x|x=2k-1,k∈N*};
(8)、{(x,y)|x∈R,y=0};
(9)、{x|x=2k,k∈N};
(10)、{x|x=3k,k∈Z}.
四、课堂小结
1．描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。
2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。
【板书设计】
列举法
描述法
典型例题
例1： 例2：
【作业布置】作业：P6 A组题：1,2,3,4,5
集合的含义及其表示方法（2）
课前预习学案
一、预习目标：
1、会用列举法表示简单的结合。2、明确描述法表示集合的
二、预习内容：
阅读教材表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、【学习目标】
1、集合和元素的表示法；
2、掌握一些常用的数集及其记法
3、掌握集合两种表示法：列举法、描述法。
学习重难点：集合的两种表示法：列举法和描述法。
二、学习过程
1 、核对预习学案中的答案
2、 列举法的基本格式是
描述法的基本格式是
3、例题
例题1、..用列举法表示下列集合:
(1)、小于5的正奇数组成的集合;
(2)、能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)、方程x2-9=0的解组成的集合;
(4)、{15以内的质数};
(5)、{x|∈Z,x∈Z}.
变式训练1
用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合;
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};
(3)方程x2+6x+9=0的解集;
(4){20以内的质数};
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};
(6){大于0小于3的整数};
(7){x∈R|x2+5x-14=0};
(8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
例题2．用描述法分别表示下列集合:
(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
(3)不等式x-7<3的解集.
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集;
(2)小于10的所有非负整数的集合;
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
(6)方程组的解的集合;
(7){1,3,5,7,…};
(8)x轴上所有点的集合;
(9)非负偶数;
(10)能被3整除的整数.
三、当堂检测
课本P5练习1、2.
课后练习与提高
1.下列集合表示法正确的是（ ）
A.｛１，２，２，３｝
B.｛全体实数｝
C.｛有理数｝
D.不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝
2.用列举法表示下列集合
①是的约数_______;
②________________________;
③________;
④数字和为的两位数________;
⑤___________________________;
3.用列举法和描述法分别表示方程ｘ２－5ｘ＋６＝０的解集
4.集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 .
第一章 集合与函数概念
§1.1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．元素与集合的概念
(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．
(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．
2．集合中元素的特性：________、________、________.
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
元素与
集合的
关系
属于
如果________的元素，
就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果________中的元素，
就说a不属于集合A
a?A
a不属于集合A
5.常用数集及表示符号：
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
____
________
____
____
____
一、选择题
1．下列语句能确定是一个集合的是( )
A．著名的科学家
B．留长发的女生
C．2010年广州亚运会比赛项目
D．视力差的男生
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a?A
C．a∈A D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“?”填空
－_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.
三、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第一章 集合与函数概念
§1.1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．(1)研究对象 小写拉丁字母a，b，c，… (2)一些元素组成的总体 大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性 互异性 无序性
3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋ Z Q R
作业设计
1．C [选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]
2．C [由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]
3．D [集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]
4．C [因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]
5．B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
6．A [方法一 因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
方法二 令x＝2，则以上实数分别为：
2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]
7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈ ∈ ? ?
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．
11．解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为
1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴A不可能为单元素集．
第2课时 集合的表示
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．列举法
把集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．
不等式x－7<3的解集为__________．
所有偶数的集合可表示为________________．
一、选择题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
3．将集合表示成列举法，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
6．方程组的解集不可表示为( )
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________.
8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是( )
A．x0∈N
B．x0?N
C．x0∈N或x0?N
D．不能确定
1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
知识梳理
1．一一列举 2.描述法 {x|x<10} {x∈Z|x＝2k，k∈Z}
作业设计
1．B [{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]
2．D [集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
3．B [解方程组得
所以答案为{(2,3)}．]
4．B [方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．]
5．B
6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C不符合．]
7．{5,4,2，－2}
解析 ∵x∈Z，∈N，
∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析 只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解 ①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．C [由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]
13．A [M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]
第1课时 集合的含义与表示
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.
2．过程与方法
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.
3．情感、态度与价值观
（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．
（二）教学重点、难点
重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？
学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：
……这好像涉及了另一种新的运算．……
设疑激趣，
导入课题．
复习
引入
①初中代数中涉及“集合”的提法．
②初中几何中涉及“集合”的提法．
引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
几何中，圆的概念是用集合描述的．
通过复习回顾，引出集合的概念．
概念
形成
第一组实例（幻灯片一）：
（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9．
（2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数．
（3）所有直角三角形．
（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．
（5）高一（1）班全体同学．
（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．
1．集合：
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．
2．集合的元素（或成员）：
即构成集合的每个对象（或成员），
教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．
学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．
②我们能否给出集合一个大体描述?……学生思考后回答，然后教师总结．
③上述六个例子中集合的元素各是什么?
④请同学们自己举一些集合的例子．
通过实例，引导学生经历并体会集合（描
述性）概念
形成的过程，引导学
生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．
概念
深化
第二组实例（幻灯片二）：
（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．
（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．
（3）平行四边形的全体构成的集合．
（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．
3．元素与集合的关系：
教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?
学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．
引入集合语言描述集合．
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
念
深化
集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示．
如果a是集合A的元素，就说a属于A，
记作a∈A，读作“a属于A”．
如果a不是集合A的元素，就说a不属于
A，记作aA，读作“a不属于A”．
4．集合的元素的基本性质；
（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．
（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．
第三组实例（幻灯片三）：
（1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三个式子构成的集合．
（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．
（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．
5．空集：不含任何元素的集合，记作．
6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．
7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．
N：非负整数集（或自然数集）．
N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．
Z：整数集．
Q：有理数集．
R：实数集．
教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？
学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：
给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．
教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?
学生通过观察思考并回答问题．
然后，依据元素个数的多少将集合分类．
让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？……
请同学们熟记上述符号及其意义．
通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．
通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用
举例
列举法：
定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.
描述法：
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x2 –2 = 0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
师生合作应用定义表示集合.
例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：
A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.
（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么
C = {2，3，5，7，11，13，17，19}.
例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为
A = {x∈R| x2 –2 = 0}.
方程x2 –2 = 0有两个实数根，，因此，用列举法表示为
A = {，}.
（2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为
B = {x∈Z | 10＜x＜20}.
大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用
举例
例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．
解：根据集合元素的互异性，
得
所以x∈R且x≠±1，x≠0．
课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．
例2 用∈、填空．
① Q；② Z；
③ R；④0 N；
⑤0 N*；⑥0 Z．
学生分析求解，教师板书．
幻灯片五（练习答案），反馈矫正．
通过应
用，进一步
理解集合的
有关概念、
性质．
例4 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的集合；
（2）由小于8的所有素数组成的集合；
（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合；
（4）不等式4x – 5＜3的解集.
生：独立完成；题：点评说明.
例4 解答：（1）{3，–3}；
（2）{2，3，5，7}；
（3）{(1，4)}；
（4）{x| x＜2}.
归纳
总结
①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；
②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．
③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型.
师生共同总结——交流——完善．
引导学生学会自己总结；让学
生进一步（回顾）体
会知识的形成、发展、完善的过程．
课后
作业
1.1 第一课时习案
由学生独立完成．
巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1) n–1·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
（1）A = {x∈N |∈N}；
（2）B = {∈N | x∈N }；
（3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；
（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.
∴ C = {2，5，6}.
（4）点 {x，y}满足条件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：
∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则
x 要满足条件x =，
∴E = {0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展开讨论，便可求得a.
课件38张PPT。1.1.1集合的含义
与表示1. 正整数1, 2, 3, ?? ;
2. 中国古典四大名著;
3. 高10班的全体学生;
4. 我校篮球队的全体队员;
5. 到线段两端距离相等的点.知识点集 合 一般地，指定的某些对象的全体
称为集合，简称“集”.1.集合的概念: 集合中每个对象叫做这个集合的
元素.练习1.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧练习1.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.2.集合的表示:3.集合与元素的关系: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.2.集合的表示: 如果a是集合A的元素，就说a属于集
合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a?A.3.集合与元素的关系: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.2.集合的表示: 如果a是集合A的元素，就说a属于集
合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a?A.3.集合与元素的关系:例如：A表示方程x2＝1的解.
2?A，1∈A.4.集合元素的性质:⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.
如: x∈A与x?A必居其一.
4.集合元素的性质:⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.
如: x∈A与x?A必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集为{1}
而非{1，1}.
4.集合元素的性质:⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.
如: x∈A与x?A必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集为{1}
而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的.
如:{1，2}，{2，1}为同一集合.4.集合元素的性质:⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.
如: x∈A与x?A必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集为{1}
而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的.
如:{1，2}，{2，1}为同一集合.那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?4.集合元素的性质:5.集合的表示方法:5.集合的表示方法:描述法、列举法、图表法 5.集合的表示方法:问题1：用集合表示
①x2－3＝0的解集;
②所有大于0小于10的奇数;
③不等式2x－1＞3的解.描述法、列举法、图表法 6.集合的分类:6.集合的分类:有限集、无限集 6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作?.6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作?.6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？练习2：⑴ 0 ? (填∈或?)
⑵ { 0 } ? (填＝或≠) 显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作?.6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？练习2：⑴ 0 ? (填∈或?)
⑵ { 0 } ? (填＝或≠) ?≠7.重要的数集:N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.例题例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，例题例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，∴ x≠1且x≠－1且x≠0.例题例2设x∈R，y∈R，观察下面四个集合
A＝{ y＝x2－1 }
B＝{ x | y＝x2－1 }
C＝{ y | y＝x2－1 }
D＝{ (x, y) | y＝x2－1 }
它们表示含义相同吗?例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4( C )例3若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4( C )例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1.当a≠0时，?＝16－4×4a＝0.a＝1. 此时x＝－2.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1.当a≠0时，?＝16－4×4a＝0.a＝1. 此时x＝－2.∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1. 课堂练习1.教科书5面练习第1、2题2.教科书11面习题1.1第1、2题1.集合的定义
2.集合元素的性质
3.集合与元素的关系
4.集合的表示
5.集合的分类课堂小结课后作业教科书12面习题1.1第3、4题课件18张PPT。集合的含义及其表示几个要求 ⑴上课前要预习 ⑵上课时要认真⑶关于作业⑷自己整理问题集集合的有关概念元素(element)---我们把研究的对象统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.
用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等集合三大特性：(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的。（1）确定性：集合中的元素必须是确定的． (3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的．
集合中的任何两个元素都可以交换位置．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；
(1) 大于3小于11的偶数；
(2) 我国的小河流。思考：中国的直辖市
身材较高的人
著名的数学家
高一(5)班眼睛很近视的同学
判断下列例子能否构成集合注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词都不能构成集合√×××重要数集：(1) N: 自然数集(含0)(2) N＋或N﹡ : 正整数集(不含0)(3) Z：整数集(4) Q：有理数集(5) R：实数集即非负整数集（1）属于(belong to)：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于(not belong to)：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作元素对于集合的关系 用符号“∈”或“ ”
填空：
(1) 3.14_______Q
(2) π_______Q
(3) 0_______N
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0_______Z
(6) 2_______R练一练：∈∈∈∈集合的分类 有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合
空集：不含任何元素的集合 φ集合的表示方法 1、列举法： 将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ }
括起来的方法叫做列举法互异无序例1用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。 思考题(P4)(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗?
(2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?
集合的表示方法 2、描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）
表示出来，写成{x︱p(x)}的形式特征性质例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。 思考题 结合此例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点和适用的对象。例3：已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且-3∈A，求a。例4若A=｛x|x=3n+1,n ∈ Z｝, B=｛x|x=3n+2,n ∈ Z｝ C=｛x|x=6n+3,n ∈ Z｝（２）对于任意a ∈ A，b ∈ B，是否 一定有a+b ∈ C ？并证明你的结论；
(1) 若c ∈ C，问是否有a ∈ A，b ∈ B，使得c=a+b；练习与思考
1、教材P5练习1、2
2、集合{x|y=x+1，x∈R } 、{y|y=x+1}
{（x、y）|y=x+1、，x、y∈R} 、{y=x+1}是同一个集合吗？课堂小结1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性；3．数集及有关符号；4. 集合的表示方法； 5. 集合的分类.。 作 业教材Ｐ.11 Ｔ1~4.1．1．1集合的含义与表示 同步练习
一、选择题
1、给出下列表述：1）联合国常任理事国2）充分接近的实数的全体；3）方程 的实数根4）全国著名的高等院校。以上能构成集合的是（ ）
A、1）3） B、1）2） C、1）3）4） D、1）2）3）4）
2、集合{}中的x不能取得值是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
3、下列集合中表示同一集合的是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,
3}或{3,2,1}；（3）方程的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合是有限集，正确的是 （ ）
A、只有（1）和（4） B、只有（2）和（3）
C、只有（2） D、以上语句都不对
5、如果，集合，则有（ ）
A、 B、 C、 D、
6、集合A={x} B={} C={}
又则有 （ ）
A、（a+b） A B 、(a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一个
7、下列各式中，正确的是 （ ）
A、-2 B、{}
C、{}
D、{}={}
二、填空题
8、由小于10的所有质数组成的集合是 。
9、由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有 。
10、若，则m=________________。
11、（1）方程组的解集用列举法表示为____________。用描述法表示为___________。（2）两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为__________，用描述法表示为______________。
三、解答题
12、用列举法表示下列集合：
(1)
(2)
(3)
13、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。
14、设集合
试判断元素1，元素2与集合B的关系；
用列举法表示集合B.
15、设集合
试证明：一切奇数属于集合M；
关于集合M，你能得出另外的一些结论吗？
答案：
选择题
1、A；2、B；3、D；4、C ；5、C；6、B；7、C
填空题
8、{2，3，5，7}
9、1，2，3，12，21，23，32，13，31，123，132，213，231，321
10、-1或-2
11、 (1){()},
(2) {3，4，5，6，7}，
解答题
12、解：(1){1,2,3,4,5,6}；
(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}
(3){-1,0,3}。
13、解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
14、解：(1)当x=1时，；
当x=2时，
(2)只能取1,2,3,6x只能取0，1，4，则B={0,1,4}。
15、解：(1)对任意奇数a，a可以表示为2n+1，而，所以，得证。
(2)结论很多，能给出即可。如：
i)M中的所有元素都属于Z；
ii)所有的完全平方数都属于Z；
iii)因为a=4k=,所以。
