高数选修2-1同步1对1复习课程02常用逻辑用语2（无答案）

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教 学 内 容 02常用逻辑用语（2）
考 点 难 点 逻辑连接词 2、命题
知识点剖析和例题精讲
一、全称量词与存在量词 知识点一　全称量词、全称命题(1)概念：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. (2)表示：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.知识点二　存在量词、特称命题 (1)概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. (2)表示：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.(3)特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.题型一　全称量词与全称命题 例1　试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x4≥1； (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.跟踪训练1　试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋1≥2； (2)任何一条直线都有斜率； (3)每个指数函数都是单调函数.题型二　存在量词与特称命题 例2　判断下列特称命题的真假： (1)?x0∈Z，x<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)有一个实数α，tan α无意义； (4)?x0∈R，cos x0＝.跟踪训练2　试判断下列特称命题的真假： (1)?x0∈Q，x＝3；[来源:Zxxk.Com](2)?x0，y0为正实数，使x＋y＝0； (3)?x0∈R，tan x0＝1； (4)?x0∈R，lg x0＝0.题型三　全称命题、特称命题的应用例3：(1)若命题p：存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围； [来源:学§科§网][来源:学|科|网Z|X|X|K] 若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. (2)若命题p：＝sin x－cos x是真命题，求实数x的取值范围. [来源:学科网]一、选择题1.下列全称命题中真命题的个数为(　　) ①负数没有对数； ②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A.1 B.2 C.3 D.42.给出以下命题： ①?x∈R，有x4>x2； ②?α∈R，使得sin 3α＝3sin α； ③?a∈R，对?x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.33.下列四个命题中，为真命题的是(　　) A.?x∈R，x＋≥2 B.?x0∈R，x0＋≥2 C.?x0∈R，|x0＋1|<0 D.?x∈R，|x＋1|>04.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是(　　) A.?x0∈R，f(x0)≤f(x1) B.?x0∈R，f(x0)≥f(x1) C.?x∈R，f(x)≤f(x1) D.?x∈R，f(x)≥f(x1)5.已知命题p：?x0∈R，x＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.[0,4] B.(0,4) C.(－∞，0)∪(4，＋∞) D.(－∞，0]∪[4，＋∞)6.下面四个命题： ①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立； ②?x∈Q，x2＝2； ③?x∈R，x2＋1＝0； ④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题7.若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________.8.若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 三、解答题9.已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围. 10.若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 二、含一个量词的命题的否定知识点一　全称命题的否定全称命题p：?x∈M，p(x)， 它的否定：?x0∈M，(x0).知识点二　特称命题的否定特称命题p：?x0∈M，p(x0)， 它的否定：?x∈M，(x).知识点三　全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题. 特称命题的否定是全称命题.题型一　全称命题的否定 例1　写出下列全称命题的否定：[来源:学#科#网Z#X#X#K](1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； (3)?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0.跟踪训练1　写出下列全称命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；[来源:学科网](4)对任意实数x，x2＋1≥0.题型二　特称命题的否定[来源:学科网ZXXK]例2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形. [来源:学&科&网]跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.题型三　特称命题、全称命题的综合应用 例3：已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 跟踪训练3　已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； (2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. 一、选择题 1.下列命题中，为真命题的全称命题是(　　) A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.?x，＝x D.对数函数在定义域上是单调函数 2.下列命题中的假命题是(　　) A.?x∈R,2x－1>0 B.?x∈N*，(x－1)2>0 C.?x0∈R，lg x0<1 D.?x0∈R，tan x0＝2 3.已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则为(　　)A.?x0≤0，使得(x0＋1)≤1 B.?x0>0，使得(x0＋1)≤1 C.?x>0，总有(x＋1)ex≤1 D.?x≤0，总有(x＋1)ex≤1 4.下列特称命题是假命题的是(　　) A.存在实数a，b，使ab＝0； B.有些实数x，使得|x＋1|<1； C.存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； D.有些实数x，使得()x<0. 5.下列命题既是特称命题，又是真命题的是(　　) A.两个无理数的和必是无理数 B.存在一个实数x，使＝0 C.至少有一个实数x，使x2<0 D.有个实数的倒数等于它本身 6.命题“存在x0∈R,≤0”的否定是(　　) A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x0∈R,≥0 C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0 8.已知命题p：?x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：?x∈R，sin x3”的否定是________________________________. 11.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________. 三、解答题 12.已知命题p：?x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若是假命题，求实数m的取值范围. [来源:学*科*网Z*X*X*K]13.已知p：?x∈R,2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.


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