《余弦函数的图象和性质》教学设计
一、教学目标
（1）知识与技能目标：
了解平移法，掌握五点法做余弦函数图象，利用余弦函数的图象进一步研究余弦函数的性质，并解决简单余弦函数问题；
（2）过程与方法目标：
类比正弦函数性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法；
（3）情感态度与价值观目标：
通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系。
二、教学重点和难点
??教学重点：余弦函数的图象与性质?。????
教学难点：利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。余弦函数的图象与性质的应用。
那么克服本节课的难点的关键在于复习好正弦函数图象的作法，充分利用图象讲清余弦函数的性质，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、性质、实现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。
三、教学资源
前面我们学习了正弦函数的图象和性质，与正弦函数作类比，得出余弦函数的图象和性质，并运用多媒体辅助教学的方法让学生更加直观的观察余弦函数的图象和性质。
四、教学过程
（一）：复习引入：
复习：正弦函数的性质有哪些？
函数
?
图象
?
性
质
定义域
? R
值域
[-1,1]
周期
?
奇偶性
奇函数
对称性
对称轴：
对称中心：
单调性
单调递增区间：
单调递减区间：
最值
当
当
【设计意图】：一方面让学生巩固上节课所学的正弦函数图象与性质，另一方面，为余弦函数的学习做铺垫。
引例：要得到函数y=sin(x+)的图象，只需要将y=sinx的图象 （ ）
A.向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C.向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【设计意图】：一方面让学生巩固正弦型函数的图象变换；另一方面，对函数y=sin(x+)进行进一步研究，引导学生根据以前所学的诱导公式找到正弦和余弦之间的关系，进一步得出余弦函数的图象是由正弦函数图象经过平移得到，引出这节课的课题。同时也突破了第一个教学难点。
（二）新课讲授
1、余弦函数的图象
（1）平移法：有引例得出y=cosx的图象是由y=sinx的图象向左平移个单位得到。
动态图画演示平移过程。
【设计意图】：通过动态图画演示平移过程，加强学生的感知。
（2）“五点法”：先复习正弦函数图象在上的五个关键点；通过类比得到余弦函数图象在上的五个关键点。动画演示画余弦函数的图象。
【设计意图】：让学生初步体会类比的思想方法应用。通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的图象。
2、余弦函数的性质
（1）思考：我们已经学习了正弦函数的性质，能不能类比学习余弦函数的性质呢？
【设计意图】：让学生再次体会类比的思想方法应用。
（2）问题：正弦函数与余弦函数性质是否完全相同？如果不是，又有哪些是相同的？那些是不同的？
【设计意图】：给学生设疑，让学生产生困惑，从而使学生对余弦函数的具体性质产生更浓厚的兴趣。更能认真的学习和探究余弦函数的性质。
（3）师生共同研究余弦函数的性质（有余弦函数的图象研究余弦函数的性质）
①定义域与值域
定义域：R
【师生共同活动】：把余弦函数图象看成P点的运动轨迹，通过动画演示P点运动规律，得出P点从无穷远处永不停止的运动。找出P点在x轴上的投影点P1.当P点运动时，P1点也要相应的运动，动画演示P1点运动规律。又因为P点从无穷远处永不停止的运动，所以P1点也应该从负无穷大沿着x轴正方向永不停止的运动，从而得出余弦函数的定义域。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的定义域，从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的定义域？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
值域：[-1,1]
【师生共同活动】：复习：值域的定义：函数值的集合。
任取一个函数值设为a,则cosx=a。而这个方程是否有解，可以看成函数y=cosx的图象与函数y=a的图象是否有交点，如果有交点，cosx就能取到a值；如果无交点，则cosx就取不到a值。只需要平移y=a这条直线看什么时候与y=cosx的图象有交点，就可以得出余弦函数的值域。
动态图画演示。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的值域，从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的值域？
【教师活动】：对学生的答案点评，并给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
最值点：当，y=cosx取到最大值1；
当，y=cosx取到最小值-1。
【师生共同活动】：有值域得到余弦函数的最大值为1，y=1这条直线与余弦函数图象的交点称之为最大值点，最大值点有无数多个，相邻最大值点之间的距离为，得出当x值为何值时，y=cosx取到最大值1。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数当x值为何值时，y=cosx取到最大值1。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：当x值为何值时，y=cosx取到最大值1？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
【师生共同活动】：有值域得到余弦函数的最小值为-1，y=-1这条直线与余弦函数图象的交点称之为最小值点，最小值点有无数多个，相邻最小值点之间的距离为，得出当x值为何值时，y=cosx取到最小值-1。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数当x值为何值时，y=cosx取到最小值-1。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：当x值为何值时，y=cosx取到最小值-1？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
②周期：
【教师活动】：通过余弦函数的图象让学生猜想余弦函数y=cosx的最小正周期？
【学生活动】：
【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示做准备。
【师生共同活动】：如果周期是，那么我们选一个长度为的区间所对应的图象，向左（或向右）平移的整数倍后，应该和y=cosx的图象重合。动态图画演示平移以后重合。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的周期。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的周期？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
③奇偶性：偶函数
【教师活动】：让学生观察余弦函数的图象，余弦函数的图象是关于y轴对称还是关于原点堆成？
【学生活动】：y轴
【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示做准备。
【师生共同活动】：如果余弦函数的图象是关于y轴对称，那么余弦函数的图象关于y轴旋转1800后图象应该和原来图象重合。动态图画演示关于y轴旋转以后重合。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的奇偶性。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的奇偶性？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
④单调性：在每一个区间上为单调递增函数；
在每一个区间上为单调递减函数。
【师生共同活动】：有余弦函数的周期性，我们只需要研究余弦函数在一个周期内的单调性就可以了。不妨取区间。当x值从增大到0时，cosx值从-1增大到1；当x值从0增大到时，cosx值从1减小到-1；这个变化规律可以如下表所示。
x
…
…
0
…
…
cosx
-1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
-1
从而得出余弦函数的单调区间。
【设计意图】：通过图示和表格演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的单调区间。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的单调区间？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
⑤对称性：包括对称轴和对称中心。
对称轴为：
【教师活动】：让学生观察给定的余弦函数的图象，那些有可能是对称轴？
【学生活动】：
【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示做准备。
【师生共同活动】：如果余弦函数的图象是关于
这些轴对称，那么余弦函数的图象关于这些轴旋转1800后图象应该和原来图象重合。动态图画演示关于这些轴旋转1800以后重合。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的对称轴。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的对称轴方程？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
对称中心为：
【教师活动】：让学生观察给定的余弦函数的图象，那些有可能是对称中心？
【学生活动】：
【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示做准备。
【师生共同活动】：如果余弦函数的图象是关于这些点成中心对称，那么余弦函数的图象关于这些点旋转1800后图象应该和原来图象重合。动态图画演示关于这些点旋转1800以后是否重合。
【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的对称中心。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。
【学生活动】：抢答：余弦函数的对称中心？
【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。
【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积极性。
【学生活动】：学生一起回答余弦函数的性质。
函数
y=cosx
图象
?
性
质
定义域
R
值域
[-1,1]
周期
奇偶性
偶函数
对称性
对称轴为：
对称中心为：
单调性
单调递增区间：
单调递减区间：
最值
当
当
【设计意图】：巩固余弦函数的性质，并使学生知识系统化。
【教师活动】：正弦函数与余弦函数性质是否完全相同？
【学生活动】：不是。
【教师活动】：哪些是相同的？
【学生活动】：定义域、值域、周期。
【教师活动】：哪些是不相同的？
【学生活动】：单调性、奇偶性、对称性、最值点。
【设计意图】：通过对比找到正弦、余弦之间的异同点，巩固对余弦函数的性质的理解。并且达到前后呼应的效果。
3、余弦函数图象与性质的应用
求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=-3cosx+1; （2）
【学生活动】：找两个学生爬黑板做题，其他的在学案上完成。
【教师活动】：在教室进行巡视指导其他学生，发现下面有那些错误，讲解时统一指出。
【教师活动】：作如下预设：（1）如果学生做得很好，只进行表扬。
（2）如果学生做错的多，可进行适当的点拨，纠正。并一块找到问题的所在。并且板演正确的步骤。
【设计意图】：余弦函数性质的应用，本题主要考察余弦函数的值域，通过整体代换，转化为基本初等函数求最值。通过学生爬黑板，充分暴露学生的思维过程，及时掌握学生对本节知识的掌握情况。
4、归结反思 提高升华
知识方面：（1）余弦函数的图象①平移法②五点法（注与正弦五点对比）
（2）余弦函数的性质（与正弦函数性质对比记忆）
思想方法：类比，数形结合，转化与化归的思想。整体换元的方法。
【设计意图】：学生在课堂上学到了什么，能否比较系统地进行回顾，课堂小结是个很好的载体。在本环节，鼓励学生积极回顾，教师再利用思维导图从知识，方法及数学思想进行总结提升。
5、课后作业
必做：教材53页A组3、4、5 B组2、3、5
选做：教材54页B组4
小组作业：小组合作探究y=tanx图象
6、讲课过程及相关知识思维导图：
评测练习
1.余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象关于( )成中心对称．( )
A．(0,1) B． C．(π，0) D．(2π，0)
2.函数的最小正周期（ ）
A. 2π B. 4π C. π D.
3.函数的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
4.函数取最大值时，x的集合____________.
5. 要使cosx＝有意义，则a的取值范围是________．
6.函数y＝cos的对称轴方程为____________，对称中心坐标为____________．
7.求函数y＝sin2x＋cosx的值域．
课件22张PPT。高一数学人教B版必修四《余弦函数的图像与性质》奇函数R复习引入D余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦函数的图象 余弦曲线正弦曲线：平移法探究 类比正弦函数图像在[0, ]上的五个关键点，
找出余弦函数图像在[0, ]上的五个关键点。(0,1)( ,0)( ? ,-1)( ,0)( 2? ,1)五点法-------正弦函数的性质我们已经学习了正弦函数的性质，能不能类比学习余弦函数的性质呢？
定义域
值域
周期性
单调性
奇偶性
对称性
具体有哪些不同呢？余弦函数的性质我们从下面几个方面考虑：
定义域和值域
周期性
奇偶性
单调性
对称性
余弦函数的定义域PP1:R y=cosx (x R) 余弦函数的值域[-1,1]y=acosx=a y=cosx (x R) 观察下面图象：最值点当x= 时，函数值y取得最大值1；当x= 时，函数值y取得最小值-1余弦曲线的周期 y=cosx (x R) 观察下面图象： 3.余弦函数的奇偶性cos(-x)= cosx (x?R) y=cosx (x?R)是偶函数关于y轴对称 y=cosx (x?R)观察下面图象： y=cosx (x?R)余弦函数的图象是关于原点对称还是关于y轴对称？思考 4.余弦函数的单调性 y=cosx (x?R) -? … … 0 … … ?-1 0 1 0 -1 增区间为 其值从-1到1 减区间为 其值从1到-1 y=cosx (x R) 观察下面图象：列出图象中所有可能的对称轴？ y=cosx (x R) 对称轴xyo对称中心观察下面图象：列出图象中所有可能的对称中心？ y=cosx (x R) y=cosx (x R) 偶函数 求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=-3cosx+1; （2） （2）设t=cosx,则 则有 ，且 在区间[-1, ]上为减函数，
在区间[ , 1 ]上为增函数。
当t=cosx= 时,
当t=cosx=-1时，
解（1）小结作业 必做：教材53页A组3、4、5
B组2、3、5
选做：教材54页B组4
小组作业：小组合作探究y=tanx图象
