2.7.1 二次根式的概念及性质学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第二章　实　数
7　二次根式
第1课时　二次根式的概念及性质
要 点 讲 解
要点一　二次根式的概念及性质
1. 定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
2. 性质：(1)＝|a|＝
(2)积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0).积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
(3)商的算术平方根的性质：＝(a≥0，b＞0).
3. 商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商.
经典例题1　下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式.
，，，(x＞0)，，－，(x≥0，y≥0).
解析：二次根式应满足两个条件：①有根号“”；②被开方数是正数或0(非负).
解：二次根式有：，(x＞0)，，－，(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：，，，.
要点二　最简二次根式的概念及其化简
1. 最简二次根式的概念
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
2. 化简二次根式的方法
在二次根式的计算中，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据有关的运算性质将二次根式化为最简二次根式.在化二次根式为最简二次根式时有以下方法：
①当被开方数是整数时，应先将它分解因数，再进行开方运算.
②当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化为分数的形式或将带分数化为假分数的形式，再进行开方运算.
经典例题2　化简：(1)；(2).
解：(1)＝＝×＝4.
(2)＝＝＝＝.
易错易混警示　不理解二次根式的概念而出错
在二次根式中，a应为大于或等于0的数或式，即具有非负性，在化简时，往往因忽略a的取值范围出现错误.
经典例题3　化简：.
解：＝|a－5|＝
点拨：要化简，关键在于确定a－5的符号，由于已知条件未作说明，因此需对a－5的符号加以分类讨论，再进一步化简.
当 堂 检 测
1. 下列式子中，不是二次根式的是(　　)
A.  B.  C.  D. 
2. 已知和都有意义，则(　　)
A. m≥0 B. m≤0 C. m＝0 D. m≠0
3. 下列二次根式中的最简二次根式是(　　)
A.  B.  C.  D. 
4. 下列各式正确的是(　　)
A. ＝× B. ＝×
C. ＝× D. ＝×
5. 下列说法正确的是(　　)
A. ＝4
B. 的被开方数是小数，所以它是最简二次根式
C. 是最简二次根式
D. 不是最简二次根式
6. 把化成最简二次根式是 .
7. 若x＜0，y＞0，化简＝ .
8. 当a为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；　(2)；　(3).
9. 化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
10. 先化简a＋，然后再分别求出a＝－2和a＝3时，原代数式的值.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. A 4. D 5. D
6. 10
7. －xy
8. 解：(1)a为任意实数.　
(2)a＝0.　
(3)a≥1且a≠2.
9. 解：(1)原式＝75.　
(2)原式＝4.　
(3)原式＝.　
(4)原式＝.
10. 解：原式＝a＋＝a＋|1＋a|.当a＝－2时，原式＝－2＋|1＋(－2)|＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|1＋3|＝7.