教学设计
教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。⑵能力目标：培养由特殊到一般的思、维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括逻辑思维能力。⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究，培养学生感悟数学内在美和良好文化素养。
3、重、难点的确定
重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。）
难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。
环节
教 学 过 程
设计意图
创 设 情 境
提 出 问 题
问题1：大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式？设等差数列. {}.首项为，公差为d，观察等差数列{}前几项得出什么结论？
问题2：数列{}通项公式为=(n2-5n+5)2 计算 =1,=1,=1猜出 {} 的通项公式为=1
问题3：教师根据学生的成绩单逐一核实，得出结论：“全班及格”。
请问：⑴以上结论正确吗？为什么？
⑵得出结论所用方法有什么共同特点和什么不同点？
创设问题情境，通过三个既有联系又有区别的问题，不仅明确归纳法的概念，而且分清两种不同归纳法，引导学生主动参与，独立思考，唤起学生学习的兴趣和动力。
实验演示探究问题
[投影]：通过数学家费马运用不完全归纳法得出错误结论，来说明不完全归纳法缺憾之处。
提问:如何解决不完全归纳法存在问题?
学生讨论交流,|教师引导:有些结论不能用一验证办法加以证明,而必需寻找新的解决办法
实验问题:现在桌上立着许多小木块,我们当然可以一块一块地把它们全部推倒,但现在只允许推倒一块,你有什么办法做到使它们全部倒下?如果有办法,小木块应怎样摆?应先去推倒哪一块?(学生动手做游戏,适时引导,悟出原理,小木块全部倒下应满足的条件:⑴第一块倒下;⑵若前一块倒下,则后一块也必倒下,课件展示:多米若骨牌游戏视频动画)条件⑴是传递的基础;条件⑵是传递依据.（营造循环链）
. p(1) ––– P (2) –––– p(3) ………… P(n)
既进行数学史教育，又呈现思考问题，让学生的思维进一步深化提高。
降低坡度，体验感知，将抽象问题具体化，运用类比的方法，为数学归纳法正式呈现给出最好的切入点。
与多媒体课件整合，揭露数学归纳法本质。同时把命题比作木块，类比迁移。
提 升 理 念
形 成 新 知
问题：从小木块及多米诺骨牌游戏中我们能得到什么启发？能否类似的方法来证明一个命题对所有的正整数都成立吗？由此得出数学归纳法（点出课题）
提问：用这种方法能否证明第一个问题？
多媒体展示 ：上述问题证题思路和步骤，进而归纳出数学归纳法的奠基步骤和递推步骤及一个结论。
思考：⑴数学归纳法证明第二步“假设”二字如何理解？
⑵为什么数学归纳法只通过有限2步即可判定对初始值以后无限的正整数都成立？
⑶在现实生活中有否相似递推思想的实例呢
抓住两类问题的类似之处,由具体到抽象,引导学生..形成思维飞跃。
给予学生思考的空间和时间,由表及里|、由浅入深，表象升华本质,感性上升理性。学生合作交流、讨论
师生互动.表扬 鼓励
运 用 原 理
解 决 问 题
例1、数列{}其通项公式为=2n－1（n∈N*）.
（1）试计算前n项和Sn中前4项：S1，S2，S3，S4；
（2）猜测Sn=？，并用数学归纳法证明。
请问：
A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
== (k+1)2 ?为什么？
B、假设n=k(k∈N* )时，等式=成立，那么当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
通过典型例子剖析和学生自主探索，使学生理解数学归纳法2个步骤和一个结论.，体会蕴涵思想方法。
注意让学生暴露问题，以错纠错
反馈练习：（A组）1、证明：1+2+3+…+n=
2、首项为，公比为q的等比数列的通项公式为：=qn-1（n∈N*）
（B组）1、用数学归纳法证明 （a≠1），在验证n=1成立时 ，左边应取的项是__________.
2、某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）
A、n=6时该命题不成立 B、 n=6时该命题成立
C、n=4时该命题不成立 D、 n=4时该命题成立
遵循循序渐进规律，进行题组分层教学，兼顾各层次差异学生，因材施教，达到共同发展的目标。
归 纳 总 结
知 识 迁 移
小结提纲挈领， 形成知识体系，促进学生把知识系统化、结构化
通过作业和预习反馈，把握学生情况，又为下一节教学作好调整和准备。
附：板书设计
一 归纳法（特殊 一般）
1 完全归纳法
2不完全归纳法
二数学归纳法
重点：两个步骤；一个结论
数学归纳法及其应用
例1
注意：递推基础不可少
归纳假设要用到
结论写明莫忘掉
练习
作业：P67 习 1 2
预习：
课件13张PPT。2.3 数学归纳法 推理合情推理演绎推理归纳推理类比推理证明复习回顾直接证明间接证明综合法分析法反证法学习目标1、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。
2、理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写语言结构。问题情境 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法如果一个数学命题与正整数n有关,我们可以找到一种既简单又有效的证明方法数学归纳法（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立;
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.
最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立 【递推的依据】【递推的基础】这种证明方法叫做 数学归纳法1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用数学归纳法证明n2 即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何 都成立。证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。（假设）（利用假设）（凑结论）注意 ：1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可.2、第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法。3、最后一定要写“由（1）（2）……”因此数学归纳法是一种科学的递推方法
(1)是递推的基础 (2)是递推的依据练习1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝=∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求练习：1+a+a23.用数学归纳法证明1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（3）由（1）、（2）得出结论归纳小结2、特别需要注意由n=k到n=k+1时，左端增加的式子谢谢大家1、用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝
k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 ( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
2、用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推
到n＝k＋1时不等式左边 ( )
A．增加了一项
B．增加了两项、
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
3、若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．
（用数学归纳法证明下列问题）
4、
5、
6、
7、
注意： 本知识点易错之处：
（1）对项数估算错误，特别是当寻找n=k与n=k+1的关系，项数的变化易于出现错误
（2）没有利用归纳假设，归纳假设必须要用的，假设起桥梁作用，桥梁断了就证不不过去了
（3）关键步骤含糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性和规范性
