数学归纳法教学设计
课标分析
1知识目标? 使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤.
2能力目标? 培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力.
3情感目标 ?使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验.
重点、难点
重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路.
难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用.
教学过程
?1.从思考题中引入课题
（1）、已知数列， （1）求出其前四项，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？
（2）、某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的
【设计意图】逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．
2.数学归纳法概念的形成
数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；
根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.
3、数学归纳法的应用
例1. 用数学归纳法证明：
【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．
【练习1】用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
【设计意图】根据例1，学生完成练习1，体会数学归纳法的步骤。
【思考1】 试问等式2+4+6+……+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
设n＝k时成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1)
＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，n＝k+1时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立
【思考2】 试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确？
下面是某同学 用数学归纳法证明等式
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求
证明：①当n=1时，左边＝
②假设n=k时，等式成立，
那么n=k+1时
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
【想一想】
(1) 第一步，是否可省略？
(2) 第二步，是否可省略？
【练习2】用数学归纳法证明
【设计意图】让学生体会由n=k到n=k+1,左端变化，主要是为了利用假设进行第二步的证明。也是数学归纳法的关键和难点。
总之，由于本节课教学的难点是：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明，因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设，如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，这样有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．关于这个难点，下节课还要重点的研究。
从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤。
4、板书设计
课件17张PPT。2.3 数学归纳法 学习目标1、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。
2、理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构。问题 1:问题2：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境......我是白的哦！ ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？ 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立;
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.
最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立 数学归纳法【命题成立的连续性】【命题成立的必要性】这种证明方法叫做 数学归纳法1+3+5+…+(2n–1)=n2 (n∈N*)证明：例1：观察归纳猜想：你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。nn（1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+(2k–1)=k2 ,则n=k+1时， 1+3+5+…+[2(k+1)–1]= 1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1]= k2+2k+1=(k+1)2.即n=k+1时等式也成立.根据（1）,（2）知等式对一切n∈N*都成立.1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用数学归纳法证明n2 即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何 都成立。证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。（凑结论）注意 ：1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可.2、第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法。3、最后一定要写“由（1）（2）……”证明：（1）当n=1时，等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何 都成立试用数学归纳法证明 因此数学归纳法是一种科学的递推方法
(1)是递推的基础 (2)是递推的依据练习1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝=∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1)
＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3
左边≠右边，等式不成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早
证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求 因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。练习21.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（3）由（1）、（2）得出结论归纳小结作业：课本：P72 A组 1，2（及学案） 2、特别需要注意由n=k到n=k+1时，左端增加的式子1、用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝
k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 ( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
2、用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推
到n＝k＋1时不等式左边 ( )
A．增加了一项
B．增加了两项、
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
3、若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．
（用数学归纳法证明下列问题）
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注意： 本知识点易错之处：
（1）对项数估算错误，特别是当寻找n=k与n=k+1的关系，项数的变化易于出现错误
（2）没有利用归纳假设，归纳假设必须要用的，假设起桥梁作用，桥梁断了就证不不过去了
（3）关键步骤含糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性和规范性
