全方位教学辅导教案
学 科 数 学 任课老师 授课时间 ****年**月** 日 星期**
姓 名 性别 年级 高二 课次：第**次课
教 学 内 容 06圆锥曲线-----双曲线及其标准方程
考 点 难 点 1、双曲线的定义 2、双曲线的几何性质
知识点剖析和例题精讲
一、双曲线及其标准方程 知识点一 双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二 双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0) 焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c a、b、c的关系c2＝a2＋b2 [来源:学*科*网Z*X*X*K]题型一 求双曲线的标准方程 例1：根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P(3，)，Q(－，5)； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． 跟踪训练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)． 题型二 双曲线定义的应用 例2：若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 跟踪训练2：已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 题型三 与双曲线有关的轨迹问题 例3：如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 跟踪训练3：如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程 【课堂训练】1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．不存在 D．一条射线 2．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是( ) A．±5 B．±3 C．5 D．9 3．双曲线－＝1的焦距为( ) A．3 B．4 C．3 D．4 4．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________． 5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________. 一、选择题 1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( ) A．－1－1 C．m>3 D．m<－1 2．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是( ) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1 3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是( ) A．1 B．－1 C. D．－ 5．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0) 6．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( ) A. B. C. D. 7．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( ) A．x＝0 B.－＝1(x≥) C.－＝1 D.－＝1或x＝0 二、填空题 8．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________． 9．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________． 10．若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________. 11．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 三、解答题 12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 二、双曲线及其几何性质 知识点一 双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴 渐近线y＝±x y＝±x 离心率e＝，e∈(1，＋∞) 知识点二 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. [来源:学_科_网]题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 跟踪训练1：求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率． 题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． [来源:学科网ZXXK] 跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．[来源:Z#xx#k.Com] 题型三 直线与双曲线的位置关系 例3：直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程 跟踪训练3：设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求实数a的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值． 【课堂检测】1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A．2 B．2 C. D．1 2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( ) A．－ B．－4 C．4 D. 3．双曲线－＝1的渐近线方程为( ) A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0 4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．一、选择题 1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( ) A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0 5．若在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A．e> B．12 D．10)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于( ) A．－12 B．－2 C．0 D．4 7．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为_______ 9．与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是_______________ 10．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________． 11．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 12．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长． [来源:Zxxk.Com]
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