高数选修2-1同步1对1复习课程07抛物线方程及其几何性质（无答案）

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教 学 内 容 07圆锥曲线-----抛物线方程及其几何性质
考 点 难 点 1、抛物线的方程 2、抛物线线的几何性质
知识点剖析和例题精讲
一、抛物线及其标准方程 知识点一　抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形标准方程焦点坐标准线方程 y2＝2px(p>0)(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) (－，0) x＝ x2＝2py(p>0) (0，) y＝－ x2＝－2py(p>0) (0，－) y＝ 题型一　求抛物线的标准方程 例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y＝－1； (3)过点A(2,3)； (4)焦点到准线的距离为. 跟踪训练1：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 题型二　抛物线定义的应用 例2：如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标． 跟踪训练2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(　　) A. B．2C. D. 【课堂训练】1．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　) A．8 B．16 C．32 D．61[来源:Z*xx*k.Com]3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x 4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 5．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________. 一、选择题 1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　) A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) 2．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 3．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y 4．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为(　　) A．(，0) B．(－，0) C．(－，0) D．(0，－) 5．动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线[来源:学科网]6．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A. B．1 C. D. 7．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．4 B．2 C．1 D．8 二、填空题 8．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程______________． 9．抛物线y＝x2的准线方程是________． 10．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程是________． 11．以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________． 三、解答题 12．设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [来源:学科网] 13．如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切． (1)求抛物线C的方程； (2)若点A，B都在抛线C上，且＝2，求点A的坐标． 二、抛物线的简单几何性质知识点一　抛物线的几何性质标准方程 y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0) 图形 性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴x轴 x轴 y轴 y轴 顶点(0,0) 离心率e＝1 知识点二　焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三　直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． 题型一　抛物线的几何性质 例1：已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 跟踪训练1：已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 题型二　抛物线的焦点弦问题 例2：已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程． 跟踪训练2：已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 题型三　直线与抛物线的位置关系 例3：已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？ 跟踪训练3：如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值． 【课堂训练】1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A．(，±) B．(，±) C．(，) D．(，) 3．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　) A．(1,2) B．(0,0) C．(，1) D．(1,4) 4．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　) A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0 5．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.一、选择题 1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A. B．p C．2p D．无法确定 2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 3．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是(　　) A. B．－ C．3 D．－3 4．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为(　　) A．(3,2) B．(3，－2) C．(3,2)或(3，－2) D．(－3,2)或(－3，－2) 5．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　) A. B. C. D. 7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 二、填空题 8．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________． 9．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________． 10．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________． 11．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________________． 三、解答题 12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线的方程和双曲线的方程． 13．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程．


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