高数选修2-1同步1对1复习课程09空间向量加减数乘运算（无答案）

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学 科 数 学 任课老师 授课时间 ****年**月** 日 星期**
姓 名 [来源:Z+xx+k.Com] 性别 年级 高二 课次：第**次课
教 学 内 容 09空间向量及其运算
考 点 难 点 空间向量及其运算空间向量的数乘运算
知识点剖析和例题精讲
一、空间向量及其加减运算知识点一　空间向量 (1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.(3)特殊向量名称定义及表示 零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量模为1的向量叫做单位向量 相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二　空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：＝＋＝a＋b；eq \o(CA,\s\up6(→))＝－＝a－b.知识点三　空间向量加法的运算律 空间向量的加法运算满足交换律及结合律： (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．题型一　空间向量的概念 例1：判断下列命题的真假． (1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (4)向量与的长度相等．跟踪训练1：如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 题型二　空间向量的加减运算 例2：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)①－－； ②＋－； ③－－； ④－＋. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 跟踪训练2：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是________(填序号)． ①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋； ④(＋)＋. 题型三　空间向量加减运算的应用 例3　已知平行六面体ABCDA′B′C′D′.求证：＋＋＝2. 跟踪训练3　在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)＋＋；(2)＋－. 【课堂训练】1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有(　　) A．7个 B．3个 C．5个 D．6个 3．下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定是＋＝ 4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 5．下列命题中正确的个数是________． ①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|； ②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若a，b，c为任意向量，则(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内． 一、选择题 1．下列命题中，假命题是(　　) A．任意两个向量都是共面向量 B．空间向量的加法运算满足交换律及结合律 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c B．c－a－b C．c＋a－b D．c＋a＋b 3．下列各命题： ①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为(　　) A．2 B．3 C．4　 D．5 4．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝1 D．x＝1，y＝ 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别是(　　) A.，－ B．－，－ C．－， D.， 7．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是(　　) A.＋＋＋＝0 B.＋＋＋＝0 C.＋＋＋＝0 D.－＋＋＝08.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题9.如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)． 10．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，下列四个式子中计算正确的是________(填序号)． ①－＝；②＝＋＋；③＋＝；④＋＋＋＝. 11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果等于________． 12．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状是________．三、解答题13.如图，在四面体ABCD中，E，F，H分别为棱CD，AD，BC的中点，连接BE，DH，交于点G，则G为△BCD的重心，连接AG，HF，化简下列各式： (1)＋＋； (2)(＋－)． 二、空间向量及其数乘运算知识点一　空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍． (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律： 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ?μa?＝?λμ?a.知识点二　共线向量 (1)共线向量定义表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或平行向量，记作a∥b.(2)两向量共线的充要条件对空间任意两个向量a，b (b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(3)共线向量的推论如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①.其中向量a叫做直线l的方向向量．在l上取＝a，则①式可化为＝＋t，②.此推论可以用来判断任意三点共线．知识点三　共面向量(1)共面向量的概念 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 题型一　空间向量的数乘运算 例1：如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋. 跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). 题型二　向量共线问题 例2：如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 跟踪训练2　设两非零向量e1、e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由． 题型三　向量共面问题 例3　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 跟踪训练3　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内． 【课堂训练】1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则(　　) A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0 2．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0||，且与同向，则> D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥ 4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 5．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D．||＝|| 6．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点(　　) A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面7.如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－二、填空题8．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________． 9．空间非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的实数k＝________. 10．在以下命题中，不正确的命题的个数为________． ①已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件； ③若a与b共线，则a与b所在直线平行； ④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面． 11．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.三、解答题12.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示，. 13.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．


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