高数选修2-1同步1对1复习课程12立体几何中的向量方法 （无答案）

全方位教学辅导教案
学 科 数 学 任课老师 授课时间 ****年**月** 日 星期**
姓 名 性别 年级 高二 课次：第**次课
教 学 内 容 12立体几何中的向量方法
考 点[来源:学科网ZXXK] 难 点 空间向量与平行关系空间向量与垂直关系
知识点剖析和例题精讲
一、空间向量与平行关系知识点一　直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量 平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，则向量n叫做平面α的法向量 知识点二　空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则：l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则：α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．题型一　利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； (2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝；(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)； (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3)．【跟踪训练1】设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________. 题型二　求平面的法向量例2：如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量． 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．【跟踪训练2】已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 题型三　利用空间向量证明平行关系例3：在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 【跟踪训练3】如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD. 例4：已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________． 一、选择题 1．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0,1,2) B．(3,6,9) C．(－1，－2,3) D．(3,6,8) 2．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　) A．a＝ B．a＝k C．a＝p＋λ D．以上均不能 3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．6 C．－6 D. 4．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则 (　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对[来源:学科网ZXXK]6．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) 二、填空题 7．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________. 8．若直线l的方向向量为a＝(，0,1)，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则l与β的关系是________． 9．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，ν＝(－3,1，－4)，则α与β的位置关系是________． 10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________． 三、解答题 11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点， 求证：平面EFG∥平面AB1C. 12.已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m. 求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； (2)∥. 13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 二、空间向量与垂直关系知识点　空间垂直关系的向量表示 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m?a⊥b?a·b＝0设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β?u⊥v?u·v＝0 题型一　证明线线垂直问题 例1：如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC. 【跟踪训练1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD. 题型二　证明线面垂直问题 例2：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 【跟踪训练2】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 题型三　证明面面垂直问题 例3：如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 【跟踪训练3】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 一、选择题 1．若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是(　　) A．0 B．1 C．－2 D．2 2．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是(　　) A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) 5．若直线l的方向向量为a＝(，0,1)，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则(　　) A．l∥β B．l⊥β[来源:学科网]C．l?β D．l与β斜交 6．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥7.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　) A．(1,1，) B．(1，，1) C．(1,1,1) D．(2，－2,1)二、解答题 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF. 12.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA. [来源:学&科&网] [来源:学|科|网Z|X|X|K] 13.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.


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