高数选修2-1同步1对1复习课程13 空间向量与空间角（无答案）

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教 学 内 容 13空间向量与空间角
考 点 难 点 空间向量线线角，线面角空间向量与面面角，二面角的求法
知识点剖析和例题精讲
空间向量与空间角知识点一　两条异面直线所成的角①传统方法：解三角形②向量方法：； 知识点二　直线和平面所成的角①传统方法：解三角形②向量方法：；知识点三　二面角的平面角①传统方法：解三角形②向量方法：； 题型一　两条异面直线所成角的向量求法 例1：如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值． 【跟踪训练1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置． 题型二　直线与平面所成角的向量求法 例2：已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值 【跟踪训练2】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG； (2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长． [来源:Z&xx&k.Com] [来源:学|科|网]题型三　二面角的向量求法 例3：如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值． 【跟踪训练3】如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值． 【课堂训练】1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　) A．60° B．90° C．105° D．75° 4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．一、选择题 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．以上均错 2．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　) A．0 B. C．－ D. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于(　　) A. B. C. D. 5．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为(　　)A. B. C. D. 二、填空题 7．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________． 8．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________． 9．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________． 10．已知直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________． 三、解答题[来源:学科网ZXXK]11.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD. (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角ACDE的余弦值． 12.如图所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求异面直线AB与CD所成角的余弦值． [来源:Z#xx#k.Com] 13.如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2. (1)证明：BD⊥AE； (2)求平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值．


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