高数选修2-1同步1对1复习课程14空间向量与立体几何本章复习（无答案）

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教 学 内 容 14空间向量与立体几何本章复习
考 点 难 点 空间向量线线角，线面角空间向量与面面角，二面角的求法
知识点剖析和例题精讲
要点归纳1．空间向量的运算及运算律 空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立． 2．两个向量的数量积的计算 向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中． 3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题． 4．空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的． 5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解． 6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法． 1．数形结合思想 例1：某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示． (1)求证：A1C⊥平面AB1C1； (2)求二面角C1－AB1－C的余弦值． 【跟踪训练1】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 2．转化和化归思想 例2：如图所示，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD＝EA＝1. (1)求多面体EABCDF的体积； (2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值； (3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明． 【跟踪训练2】如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角BAFD的大小． [来源:学,科,网] 3．方程思想 例3：如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求直线AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB的距离和点N到AP的距离． 【跟踪训练3】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点． (1)求点C到平面A1ABB1的距离； (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值．[来源:学科网ZXXK] 1.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 2．在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面M，AC⊥平面M，BD⊥AB，BD与平面M成30°角，则C、D间的距离为(　　) A．1 B．2 D. [来源:学科网]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________． 5．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． (1)求证：MN∥平面ABCD；[来源:学科网ZXXK](2)求二面角D1ACB1的正弦值； (3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长． 6.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点． (1)证明：平面PAD⊥平面PCD； (2)求AC与PB的夹角的余弦值； (3)求二面角A－MC－B的余弦值． 6.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD. 7.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值？若不存在，试说明理由． [来源:学+科+网Z+X+X+K]


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