1.2.1函数的概念
【教学目标】
1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型
2、学习用集合语言刻画函数
3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。
4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
【教学重难点】
教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念
教学难点：函数的概念及符号y=f(x)的理解
【教学过程】
(一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
(二)、教学过程
一、情境引入：函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
二、合作交流
1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？
2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式
注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
3．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction）．
记作：?y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|?x∈A?}叫做函数的值域（range）．
注意：
（1）?“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）?函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（3） ?函数是非空数集到非空数集的对应关系。
（4）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）
4．区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
三、精讲精练
例1：求函数ｙ＝的定义域。
解：由条件知应满足２ｘ＋３≥０且２－ｘ＞０且ｘ≠０，解得－≤ｘ＜２且ｘ≠０，所以定义域为［－，０）∪（０，２）．
［点评］题中既有分母又有根式，要保证两种形式同时有意义
变式训练一：求函数ｙ＝的定义域；
解：由ｘ2－４≠０解得ｘ≠２且ｘ≠－２
∴定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２，ｘ∈Ｒ｝．
［点评］题中虽然分子分母有公因式，但是要保证原式有意义，不能约分后再求定义域；
例⒉求函数ｆ(ｘ)＝，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．
解：．
容易看出，这个函数当ｘ＝０时，函数值取得最大值１，当自变量ｘ的绝对值逐渐变大时，函
数值随着逐渐变小且逐渐趋向于０，但永远不会等于０．于是可知这个函数的值域为集合：
｛｝＝（０，１］．
变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，4，2＋３｝，∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，
求，ｋ，Ａ，Ｂ．
解：由已知条件和函数的定义可知：
10＝410＝2＋３
⑴或⑵
３ｋ＋１＝2＋３３ｋ＋１＝4
⑴显然无解，∵∈Ｎ+，解⑵得：＝２，ｋ＝５
∴Ａ=｛１，２，３，５｝，Ｂ=｛４，７，10，16｝．
点评：本题主要理解函数的定义，在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。
【板书设计】
函数概念
定义
三要素
二次函数值域
区间
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
1.2.1函数的概念导学案
课前预习学案
一、预习目标：了解函数的概念，并会计算一些简单函数的定义域。
二、预习内容：
⒈在一个变化的过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定了一个ｘ值，相应地_____________________________，那么我们称__________的函数，其中ｘ是_________，y是________．
⒉记集合A是一个______________，对A内_________x，按照确定的法则ｆ，都有_________________与它对应，则这种对应关系叫做____________________，记作_________________，其中ｘ叫做_______，数集Ａ叫做______________________________．
⒊如果自变量取值，则由法则ｆ确定的值ｙ称为_________________________，记作________或______，所有函数值构成的集合_____________________，叫做_________________．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
（一）学习目标：
1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型
2、学习用集合语言刻画函数
3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。
4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
学习重难点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念
（二）合作探究：
1.用集合语言刻画函数关键词语有哪些？
2.明确函数的三要素：定义域、值域、解析式
（三）精讲精练
例1：求函数ｙ＝的定义域。
解：
变式训练一：求函数ｙ＝的定义域；
解：
例⒉求函数ｆ(ｘ)＝，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．
解：
变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７，4，2＋３｝，∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数，
求，ｋ，Ａ，Ｂ．
解：
课后练习与提高
一、选择题
⒈函数的定义域是（）
Ａ．{}Ｃ．{}
Ｂ．{}Ｄ．{}
⒉已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１，其定义域为｛－１，０，１，２｝，则函数的值域为（）
Ａ．［０，３］Ｂ．｛０，３｝Ｃ．｛０，１，２，３｝Ｄ．｛ｙ｜ｙ≥０｝
⒊已知ｆ(ｘ)＝ｘ2＋１，则ｆ［ｆ(－１)］的值等于（）
Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５
二、填空题
4.函数的定义域是_______________________
5.已知ｆ(ｘ)＝２ｘ＋３，则ｆ(１)＝_________________，f(a)=______________,
ｆ[ｆ(a)]＝______________________．
三、解答题
6. 用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为２ｘ，求此框架围成的面积ｙ与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．
1. 2.1 函数的概念
第二课时 函数概念的应用
【教学目标】
1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；
2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．
3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
【教学重难点】
教学重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域．
教学难点
对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
【教学过程】
1、创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？
（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （2） f(x)＝x；g(x)＝；
（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f(x) ＝|x|；g(x)＝．
2、讲解新课
总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
3、典例
例1 求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
解 ： （1）由得即，故函数的定义域是，．
（2）由得即≤x≤且x≠±，
故函数的定义域是{x|≤x≤且x≠±}．
点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：
① 分式中，分母不等于零．
② 偶次根式中，被开方数为非负数．
③ 对于中，要求 x≠0．
变式练习1求下列函数的定义域： （1）；（2）．
解 （2）由得 故函数是{x|x<0，且x≠}．
（4）由即 ∴≤x＜2，且x≠0，
故函数的定义域是{x|≤x＜2，且x≠0}．
说明：若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．
因此我们可以知道：对于函数f：A B而言，如果如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．
例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f (x)=( x-1)2+1．
解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，
f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}．
（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}
点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．
变式练习2 求下列函数的值域：
（1），，；
（2）；
解：（1）．
作出函数，，的图象，由图观察得函数的值域为≤＜．
（2）解法一：，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．
解法二：把看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是
，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．
点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；
（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．
4、 课堂小结
（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．
【板书设计】
函数三要素
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
1.2.1 函数的概念
第二课时 函数概念的应用
课前预习学案
一 、预习目标
1．通过预习熟知函数的概念
2．了解函数定义域及值域的概念
二 、预习内容
1．函数的概念：设A、B是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_______数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合_________叫做函数的值域．值域是集合B的______。
注意：①如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；② 函数的定义域、值域要写成_________的形式．
定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母________； (2)偶次方根的被开方数_________； (3)对数式的真数_______；(4)指数、对数式的底_________. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以_______ (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
构成函数的三要素：_______、_________和__________高.考.资.源.
注意：（1）函数三个要素中．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的_______和_________完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①____________________；②______________________(两点必须同时具备)
3. 函数图象的画法
①描点法：②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、__________和___________
4．区间的概念（1）区间的分类：________、_________、_________；
说明：实数集可以表示成(–∞，+∞)不可以表示成[–∞，+∞]--------切记高.考.资.源.
5．什么叫做映射：一般地，设A、B是两个____的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应，那么就称对应_________为从集合A到集合B的一个映射。
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应高.考.资.源.
①集合A、B及对应法则f是确定的②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有____与之对应（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是____；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应的元素。
6．函数最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：高.考.资.源.
（1）__________________________________(2)________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值；
函数最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：
（1）__________________________________ (2)__________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
7：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应把几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．说明：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的____，值域是各段值域的_____．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；
2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．
学习重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域．
学习难点
对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
二 、学习过程
创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？
（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （2） f(x)＝x；g(x)＝；
（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f(x) ＝|x|；g(x)＝．
讲解新课
总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
例1 求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
变式练习1求下列函数的定义域： （1）；（2）．
若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．
因此我们可以知道：对于函数f：A B而言，如果如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．
例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f (x)=( x-1)2+1．
变式练习2 求下列函数的值域：
（1），，；
（2）；
三 、 当堂检测
（1）P25练习7；
（2）求下列函数的值域：
①；②,，6]．③．
课后练习与提高
1.函数满足则常数等于（ ）
A. B. C. D.
2.设 ， 则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
5.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，则f（2）=____．
6.若函数，则=
§1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．
1．函数
(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．
(2)值域是集合B的________．
2．区间
(1)设a，b是两个实数，且a
①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；
②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；
③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．
(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．
我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x一、选择题
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x，y的值也不同
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
5．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
6．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
x
1
2
3
g[f(x)]
填写后面表格，其三个数依次为：____________.
8．如果函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则＋＋＋＋…＋＝________.
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为______________．
10．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x＋)的定义域为________．
三、解答题
11．已知函数f()＝x，求f(2)的值．
能力提升
12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
1．函数的判定
判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．
2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．
3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．
§1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
知识梳理
1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f(x) A→B y＝f(x)，x∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集
2．(1)①a≤x≤b [a，b] ②a作业设计
1．B [①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]
2．C [①的定义域不是集合M；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]
3．D [A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.]
4．B [由2x2－1＝1,2x2－1＝7得x的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
5．D [由题意可知解得0≤x≤1.]
6．B
7．3 2 1
解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，
g[f(3)]＝g(1)＝1.
8．2 010
解析 由f(a＋b)＝f(a)f(b)，令b＝1，∵f(1)＝1，
∴f(a＋1)＝f(a)，即＝1，由a是任意实数，
所以当a取1,2,3，…，2 010时，得＝＝…＝＝1.故答案为2 010.
9．{－1,1,3,5,7}
解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
10．[0，]
解析 由
得即x∈[0，]．
11．解 由＝2，解得x＝－，所以f(2)＝－.
12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11∶00至12∶00他骑了13千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|0(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0课件15张PPT。1.2.1 函数的概念(1)一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？
初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x
的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说
x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合
叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫
做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用
变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、
一次函数、二次函数等。 1.[引例1](P15)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击
中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h
（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是 （﹡）
提出以下问题:
(1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？
(2) 炮弹何时距离地面最高?
(3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和
集合B表示出来。
(4) 对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系 ,在集合B中是否都有唯
一确定的高度h和它对应?2.[引例2]P15 问题如下:
(1) 1983、1985、1997年的臭氧空洞面积大约
分别是多少? 哪一年的臭氧空洞面积最大?最大
达到多少?
(2) 哪些年的臭氧空洞面积大约是15
(3) 分别写出时间t和臭氧空洞面积S的变化范围,
并分别用集合A、B表示出来。
(4) 对于集合A中的每一个t值按照图象所示是否在B
中都有唯一的S值与它对应?3 [引例3]”八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系
数变化情况(请学生回顾近十年来自己家庭生活的变化):
问题1:在你的记忆中,你家现在的物质生活和以前有
什么不同?主要反映在哪些方面?其中哪些方面的消费
变化大?哪些方面的消费变化小?
问题2:你认为该用什么数据来衡量家庭生活质量的高低?
问题3(P17):阅读图表后仿照[引例1]、[引例2]描述表
中恩格尔系数和时间(年份)的关系。4.问题:分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同特点？二、讲解新课 （一）函数的有关概念 定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对
应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称
f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(fun_ction),
记作y=f (x),x∈A。定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x值相对应的y值叫做函数值。
值域(range):函数值的集合叫做函数的值域。问题：y=1（x∈R）是函数吗?（二）已学函数的定义域和值域1. 常数函数 2．一次函数 4．二次函数: 3．反比例函(三)关于求定义域及函数的值:例1、已知函数求函数的定义域
(2)求 的值
(3)当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。例2、求下列函数的定义域。
（1）(2)； (3) =x2?x+3 求：f(-1), f(a),
f(x+1), f()，f(x2),f(f(x)),例3、 已知：注意： 1?在 中f表示对应法则，不同
的函数其含义不一样。 2? 不一定是解析式，有时可能是
“列表”“图象”。3?与 是不同的，前者为变数，
后者为常数。（四）函数的三要素判断同一函数： 对应法则f、定义域A、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能
称为同一函数。当有解析式时只要定义域与
解析式一样即可 例4、下列函数中哪个与函数是同一个函数？练习、 下列各组中的两个函数是否为相同
的函数？
① 三、小结：1．函数的定义 2、函数的值： 3、函数的三要素判断同一函数： 4、关于求定义域: 四、作业 P24 A
1----6做作业本上补充：已知函数=4x+3，g(x)=x2,
求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].课件11张PPT。1.2.1 函数的概念(二)二、复习：1．函数的定义 2、定义域,函数的值和值域3、函数的三要素判断同一函数 三、新课：1、区间的概念设a、b是两个实数，且a数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右
端点，称b-a为区间长度；② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就
有四种表示方法：
不等式表示法：3集合表示法：{x|3区间表示法：(3,7)；Venn图③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为
端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包
括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区
间内的端点 ④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），
“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，
“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x≥a,
x>a, x≤b, x[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。 例1、（1）若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围。例2 、 已知 (2) 若函数的定义域为[?1，1]，的定义域。求函数2．关于求定义域: 2．关于求定义域: （1）分母不等于零；偶次根式不小于零；
每个部分有意义的实数的集合的交集；符
合实际意义的实数集合 （2）复合函数定义域：已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。3．关于求值域：例3、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
；
例4、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1
时有最大值2，求a的值。
②已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函
数的最大值函数g（t）和最小值函数h（t）
并求h（t）的最小值。四、小结：1．函数的定义：区间的概念2、函数的值： 5．关于求值域：3、函数的三要素判断同一函数：4、关于求定义域:二种类型五、作业：P25B组1、2； P44A组6、7 B组4补充：设的定义域是[?3， ]求函数的定义域。1.2.1函数的概念
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.
（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.
2．过程与方法
（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.
（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.
3．情感、态度与价值观
在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.
（二）教学重点与难点
重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义.
（三）教学方法
回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾复习提出问题
函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与对应. 那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.
师：初中学习了函数，其含义是什么.
生：回忆并口述初中函数的定义.(师生共同完善、概念)
由旧知引入函数的概念.
形成概念
示例分析
示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高①为845m，且炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是
h = 130t – 5t2.
示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
示例3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况
时间(年)
1991
1992
1993
1994
1995
1996
城镇居民家庭恩格尔系数(%)
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
时间(年)
1997
1998
1999
2000
2001
城镇居民家庭恩格尔系数(%)
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(fun_ction)，记作
y = f (x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域(range). 显然，值域是集合B的子集.
老师引导、分析三个示例，师生合作交流揭示三个示例中的自变量以及自变量的变化范围，自变量与因变量之间的对应关系.
师生共同探究利用集合与对应的语言描述变量之间的因果关系.
利用示例，探究规律，形成并深化函数的概念.
体会函数新定义的精确性及实质.
应用举例
下列例1、例2、例3是否满足函数定义
例1 若物体以速度v作匀速直线运动，则物体通过的距离S与经过的时间t的关系是S = vt.
例2 某水库的存水量Q与水深h(指最深处的水深)如下表：
水深h(米)
0
5
10
15
20
25
存水量Q(立方)
0
20
40
90
160
275
例3 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图.
老师引导学生分析例1、例2、例3是否满函数的定义. 并指明对应法则和定义域.
例1的对应法则f：t→s = Vt，定义域t∈[0, +∞).
例2的对应法则一个表格h→Q，定义域h∈{0, 5, 10, 15, 20, 25}.
例3的对应法则f：一条曲线，t∈[0，24]. 对任意t，过t作t轴的垂线与曲线交于一点P (t, T)，即t→T.
通过三个实例反映函数的三种表示形式.
深化概念
表示函数的方法：
1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式.
2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
师：请同学另举例说明函数用图象法和列表法表示的.
生：平方表、平方根表、三角函数表、火车站的时间车次表、股市走势图.
归纳总结函数的三种常见表示法.
归纳总结
1．函数的概念；
2．函数的三要素；
3．函数的表达式.
师生共同回顾总结，并简要阐述.
总结知识，形成系统
课后作业
1.2第一课时习案
独立完成
巩固知识
备选例题
例1 函数y = f (x)表示（ C ）
A．y等于f与x的乘积 B．f (x)一定是解析式
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y值也不同
例2 下列四种说法中，不正确的是（ B ）
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .
例4 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是 平方 ，它是 R → R 的函数.
例5 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ B ）
【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.
课件51张PPT。1.2.1函数的概念复习提问1.初中所学的函数的概念是什么？ 复习提问1.初中所学的函数的概念是什么？ 在一个变化过程中有两个变量x和y，
如果对于x的每一个值，y都有唯一的值
与它对应. 那么就说y是x的函数，其中x
叫做自变量. 在一个变化过程中有两个变量x和y，
如果对于x的每一个值，y都有唯一的值
与它对应. 那么就说y是x的函数，其中x
叫做自变量. 复习提问2.初中学过哪些函数？1.初中所学的函数的概念是什么？ 复习提问正比例函数、反比例函数、一次函数、
二次函数等.1.初中所学的函数的概念是什么？ 在一个变化过程中有两个变量x和y，
如果对于x的每一个值，y都有唯一的值
与它对应. 那么就说y是x的函数，其中x
叫做自变量. 2.初中学过哪些函数？示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到
地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且
炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t
(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.新课示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅
速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下
图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞
的面积从1979～2001年的变化情况.示例3：国际上常用恩格尔系数反映一个
国家人民生活质量的高低，恩格尔系数
越低，生活质量越高，下表中恩格尔系
数随时间(年)变化的情况表明，“八五”
计划以来，我国城镇居民的生活质量发
生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民
恩格尔系数变化情况1. 定义形成概念 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有唯一确定
的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为
从集合A到集合B的一个函数，
1. 定义形成概念 设A、B是非空的数集，如果按照某
个确定的对应关系f，使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有唯一确定
的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为
从集合A到集合B的一个函数，记作：
y＝f (x)，x?A1. 定义形成概念 其中，x叫做自变量，
1. 定义 其中，x叫做自变量，x的取值范围
A叫做函数的定义域；
1. 定义 其中，x叫做自变量，x的取值范围
A叫做函数的定义域；
与x值相对应的y的值叫做函数值，1. 定义 其中，x叫做自变量，x的取值范围
A叫做函数的定义域；
与x值相对应的y的值叫做函数值，
函数值的集合{ f (x) | x ? A}叫做函数
的值域.1. 定义例1若物体以速度v作匀速直线运动，则
物体通过的距离S与经过的时间t的关系
是S＝vt. 下列例1、例2、例3是否满足函数定义例2某水库的存水量Q与水深h(指最深处
的水深)如下表：例3设时间为t，气温为T(℃)，自动测温
仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点
的温度曲线如下图. 定义域A；
值域{f(x)|x∈R}；
对应法则f.2. 函数的三要素: 定义域A；
值域{f(x)|x∈R}；
对应法则f.2. 函数的三要素:(2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具
体含义不一样；函数符号y＝f (x) 表示y是x的函数，
f (x)不是表示 f 与x的乘积；3. 表示函数的方法：解析式：把常量和表示自变量的字母
用一系列运算符号连接起来，得到的
式子叫做解析式.
列表法：列出表格来表示两个变量之
间的对应关系.
图象法：用图象表示两个变量之间的
对应关系.⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)4.已学函数的定义域和值域4.已学函数的定义域和值域定义域R，值域R.⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)4.已学函数的定义域和值域定义域R，值域R.⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)⑵4.已学函数的定义域和值域定义域R，值域R.定义域{x|x≠0}，值域{y|y≠0}.⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)⑵4.已学函数的定义域和值域⑶二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)4.已学函数的定义域和值域⑶二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)定义域：R，4.已学函数的定义域和值域⑶二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)定义域：R，值域：当a＞0时，当a＜0时，例1求下列函数的定义域：例题讲解⑶⑵⑴⑴解题时要注意书写过程，注意紧扣函
数定义域的含义.由本例可知，求函数的
定义域就是根据使函数式有意义的条件，
自变量应满足的不等式或不等式组，解
不等式或不等式组就得到所求的函数的
定义域. 强调：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数
集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分
母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数集合；强调：⑵求用解析式y＝f(x)表示的函数的定义域
时，常有以下几种情况：④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，
则函数的定义域是使各部分式子都有意义
的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则
函数的定义域应符合实际问题． 强调：例2已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)，⑴⑵⑶ ⑷ 例3⑴⑵⑶ ⑷ 例3例4下列各组中的两个函数是否为相同的
函数？⑶⑵⑴例4下列各组中的两个函数是否为相同的
函数？(定义域不同)⑶⑵⑴例4下列各组中的两个函数是否为相同的
函数？(定义域不同)⑶⑵⑴(定义域不同)例4下列各组中的两个函数是否为相同的
函数？(定义域不同)(定义域、值域都不同)⑶⑵⑴(定义域不同)教材P.19练习第1、2、3题课堂练习课堂小结1.函数定义域的求法；
2.判断函数是否为同一函数的方法；
3.求函数值．课后作业2.教材P.24习题1.2第1、4、6题.1.阅读教材；1、2、1函数的概念 同步练习
一、选择题
1、已知，集合那么集合P∩Q中所含元素的个数是 （ ）
A、0；B、1；C、0或1；D、1或2
2、下列函数中，定义域与值域相同的函数是 （ ）
A、y＝log2x2； B、y＝2x； C、y＝log2(x2＋1)； D、
3、下列函数中，与函数y=2x2-3(x∈R)有相同的值域的是 （ ）
A、y=-6x＋3x2 (x≥-1)； B、y=3x-9(x≤-2)
C、y=-x2＋1(x≥2)；
4、下列各图中，可表示函数y＝f（x）的图象的只可能是（ ）
5、函数的值域是 （ ）
A、(0，1]；B、(0，1)；C、(0，＋∞)；D、[1，＋∞)
6、在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A、f（x）＝x－1，g（x）＝
B、f（x）＝｜x＋1｜，g（x）＝
C、f（x）＝x＋1，x∈R，g（x）＝x＋1，x∈Z
D、f（x）＝x，g（x）＝
7、国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式，n＝（x：人均食品支出总额），且y＝2x＋475、
各种类型家庭：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
n
n≥59％
50％≤n≥59％
40％≤n＜50％
30％≤n＜40％
李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5％，该家庭在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下均少支出75元，则该家庭2002年属于……（ ）
A、贫困 B、温饱 C、小康 D、富裕
8、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）＝1.06×（0.5·［m］＋1）（元）决定，其中m＞0，［m］是大于或等于m的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ）
A、3.71元 B、3.97元 C、4.24元 D、4.77元
二、填空题
9、函数的定义域是__________________。
10、已知函数f(x)的定义域为(0，3]，那么函数y=f(x＋2)f(-2x)的定义域为___
11、已知f（x）＝＋x＋1，则＝______；f［］＝______
12、已知函数f（x）＝，那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）＝________
三、解答题
13、求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）
14、求下列函数的值域、
（1）y＝－＋x＋2；（2）y＝3－2x，x∈［－2，9］；（3）y＝－2x－3，
x∈（－1，2］；
（4）y＝
15、已知函数f(x)=(a,b为常数，且)满足f(2)=1，方程f（x）=x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f[f（-3）]的值。
一、 选择题
C；2、D；3、A；4、D；5、A；6、B；
7、解析：没1998年的食品价格为a元，所买食品总数为b，则ab－（1－7.5％）ab＝75（元）；所以ab＝1000（元），则≈39.78％、所以选D；
8、C
二、填空题
10、［-1，0) ；
11、3＋ ，57；
12、解析：f（x）＝，＝，f（x）＋＝1、
∴f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）＝＋1＋1＋1＝；
三、解答题
13、（1）（－1，1）∪（1，2）；（2）R；（3）（－∞，0）、
14、（1）（－∞，）；（2）［－15，7］；（3）［－4，0］；（4）（－4，＋∞）
15、解：由条件知f(2)=1得，即2a+b=2又有唯一解，即x(ax+b-1)=0有唯一解。
