1. 2.2 函数的表示方法
第二课时 分段函数
【教学目标】
1．根据要求求函数的解析式
2．了解分段函数及其简单应用
3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数
【教学重难点】
函数解析式的求法
【教学过程】
分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别
资费（元）
20克及20克以内
1.50
20克以上至100克
4.00
100克以上至250克
8.50
250克以上至500克
16.70
引出问题：若设信函的重量（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m2，求函数的解析式。
3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。
2、典题
例1 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.
这一种函数我们把它称为分段函数
变式练习1 作函数y=|x-2|(x＋1)的图像
分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
.
∴
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出
例2画出函数y=|x|=的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=,我们就作不出它的图象.
变式练习2 作出分段函数的图像
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
=
作出图像如下
变式练习3． 作出函数的函数图像
解：
步骤：（1）作出函数y=(2x(3的图象
（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|(2x(3|的图象
3、小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.
课后作业：（略）
【板书设计】
分段函数
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
1.2.2 函数的表示方法
第二课时 分段函数
一 、预习目标
通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题
二、预习内容
在同一直角坐标系中：做出函数的图象和函数的图象。
思考：问题1、所作出R上的图形是否可以作为某个函数的图象？
问题2、是什么样的函数的图象？和以前见到的图像有何异同？
问题3、如何表示这样的函数？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一 、学习目标
1．根据要求求函数的解析式
2．了解分段函数及其简单应用
3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数
学习重难点:函数解析式的求法
二 、 学习过程
、分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别
资费（元）
20克及20克以内
1.50
20克以上至100克
4.00
100克以上至250克
8.50
250克以上至500克
16.70
引出问题：若设信函的重量（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m2，求函数的解析式。
3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。
2、典题
例1 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0变式练习1 作函数y=|x-2|(x＋1)的图像
例2画出函数y=|x|=的图象.
变式练习2 作出分段函数的图像
变式练习3． 作出函数的函数图像
三 、 当堂检测
教材第47页 练习A、B
课后练习与提高
1.定义运算设F(x)＝f(x)g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,则F(x)的值域为( )
A.［-1,1］ B. C. D.
2.已知则的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.设函数若f(1)+f(a)＝2,则a的所有可能的值是__________.
4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t＝0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d＝________,其中t∈［0,60］.
5.对定义域分别是Df、Dg的函数y＝f(x)、y＝g(x),规定:函数h(x)＝
.
(1)若函数,g(x)＝x2,写出函数h(x)的解析式;
(2)求(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常数,且α∈［0,π］,请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)及一个α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以证明.
解答
1 解析:由已知得
即F(x)＝
F(x)＝sinx,
当,kZ时,F(x)∈［-1,］;
F(x)＝cosx,当,k∈Z时,F(x)∈(-1,),故选C.
答案:C
3 解析:由已知可得,①当a≥0时,有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②当-1＜a＜0时,有1+sin(a2π)＝2,∴sin(a2π)＝1.
∴.
又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1,
∴当k＝0时,有,∴.
综上可知,a＝1或.
答案:1或
4 解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是弧度,因此当t∈(0,30)时,,由余弦定理,得
,
;当t∈(30,60)时,在△AOB中,,由余弦定理,得,,且当t＝0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足.
综上所述, ,其中t∈［0,60］.
答案:
5 解:(1)
(2)当x≠1时,,
若x＞1,则h(x)≥4,当x＝2时等号成立;
若x＜1,则h(x)≤0,当x＝0时等号成立.
∴函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
(3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x,,
则＝cos2x-sin2x,
于是h(x)＝f(x)·f(x+α)
＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x.
解法二:令,,
则,
于是h(x)＝f(x)·f(x+α)＝()()
＝1-2sin22x＝cos4x.
课件12张PPT。1.2.2 函数的表示法(二)一、复习：1．表示函数的方法有解析法、列表法和图
象法三种. 掌握分段函数的概念;2．函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，
但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。
必须根据定义域画图，利用描点法或图象变
换法。二、上节扩充求函数解析式的方法：待定系数法；配凑法；
换元法；解方程组法（注意定义域）例1．分别求下列条件下的（1）已知f(x)=ax+b且af(x)+b=9x+8 求f(x)（2）设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0
的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的
解析式.
（3）①若 ②若三、新课讲解：映射定义： 设A、B是两个非空的集合，如果
按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中
的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定
的元素y与之对应，那么就称对应f：A为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：A举例分析映射实质：映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；例题： 例2、下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关
系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； 练习：
1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中
的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元
素2x+1对应．这个对应是不是映射？ 2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照
对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．
这个对应是不是映射？
3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则
“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是
不是映射？
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元
素x按照对应法则“f ：a b=(a?1)2”和集合B中
的元素对应．这个对应是不是映射？例3．（1）已知(x,y)在映射f作用下的象是(x+y,x-y)，求在f作用下象(1,2)的原象；选讲： 例4．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行
情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与
上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种
植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)； 写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上
市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植
成本的单位：元/102kg，
时间单位：天）四、小结 1．求函数解析式的方法 2．映射定义： 3．映射判定及映射三要素 4．求映射个数及象与原象书P24 10 五、作业：补充题：1．设 求f[g(x)]。2．已知 (x>0) 求f(x) 3．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1,
求f(x)的解析式。5．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A
出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P
点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP
的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.4．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象的原象分别是多少； 原象6的象分别是多少？课件35张PPT。1.2.2(二)表示法函数的观察下列对应，并思考：讲授新课①开平方观察下列对应，并思考：①开平方 1
-1
2
-2
3
-31
4
9②求平方 观察下列对应，并思考：①开平方③求正弦 1
-1
2
-2
3
-31
4
9②求平方 观察下列对应，并思考：①开平方③求正弦 ④乘以2 1
-1
2
-2
3
-31
4
9②求平方 观察下列对应，并思考： 一般地，设A、B是两个集合，如果
按照某种对应法则f，对于集合A中的任
一个元素，在集合B中都有唯一的元素
和它对应，那么这样的对应(包括A、B
以及A到B的对应法则f )叫做集合A到集
合B的一个映射.映射的定义：一种对应是映射，必须满足两个条件：理 解：一种对应是映射，必须满足两个条件： ①A中任何一个元素在B中都有元素与之
对应(至于B中元素是否在A中有元素对应
不必考虑，即B中可有“多余”元素). 理 解：一种对应是映射，必须满足两个条件： ①A中任何一个元素在B中都有元素与之
对应(至于B中元素是否在A中有元素对应
不必考虑，即B中可有“多余”元素). ②B中所对应的元素是唯一的 (即“一对
多”不是映射，而“多对一”可构成映
射，如图(1)中对应不是映射)．理 解：例1. 判断下列对应是否映射？有没有对
应法则？a
b
ce
f
g例1. 判断下列对应是否映射？有没有对
应法则？a
b
ce
f
g是不是是 1、3是映射，有对应法则，对应
法则是用图形表示出来的.例2. 下列各组映射是否为同一映射？a
b
ce
f
gd
b
ce
f
g例3．(2)(4)(5)例3．(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，
对应关系f：数轴上的点与它所代表的实
数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，
集合B＝{(x，y) | x∈R，y∈R}，
对应关系f：平面直角坐标系中的点与它
的坐标对应；例4. 以下给出的对应是不是从集合A到B的
映射？(3)集合A＝{x|x是三角形}，
集合B＝{x|x是圆}，
对应关系f：每一个三角形都对应它的内
切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，
集合B＝{x|x是新华中学的学生}，
对应关系f：每一个班级都对应班里的
学生.例4. 以下给出的对应是不是从集合A到B的
映射？你能说出函数与映射之间的异同吗?思 考：函数是一个特殊的映射；
你能说出函数与映射之间的异同吗?思 考：函数是一个特殊的映射；
2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，
而对于映射，A和B不一定是数集.你能说出函数与映射之间的异同吗?思 考：象与原象的定义： 给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，若a与b对应，则把元
素b叫做a在B中的象，而a叫做b的原
象.象与原象的定义：③求正弦 ④乘以2 给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，若a与b对应，则把元
素b叫做a在B中的象，而a叫做b的原
象. 如图(3)中，
此时象集C＝B，但在(4)中，象与原象的定义：. 给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，若a与b对应，则把元
素b叫做a在B中的象，而a叫做b的原
象.练习：教材P.23第4题．例5. 已知A＝B＝R，x∈A， y∈B，
f：x→y＝ax＋b，若1，8的原象相
应的是3和10，求5在f 下的象.例6. 已知A＝{1，2，3}，
B＝{0，1}，
写出A到B的所有映射． 若f是从集合A到B的映射，如果对
集合A中的不同元素在集合B中都有不
同的象，并且B中每一个元素在A中都
有原象，这样的映射叫做从集合A到集
合B的一一映射.一一映射的定义：课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；(3) A中元素不可剩，B中元素可剩；课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；(3) A中元素不可剩，B中元素可剩；(4) 多对一行，一对多不行；课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；(3) A中元素不可剩，B中元素可剩；(4) 多对一行，一对多不行；课堂小结(5) 映射具有方向性：f : A→B与
f : B→A是不同的映射；
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；(3) A中元素不可剩，B中元素可剩；(4) 多对一行，一对多不行；(5) 映射具有方向性：f : A→B与
f : B→A是不同的映射；(6) 原象的集合为A， 象集C?B.课堂小结2.习案：P.162至P163；1.阅读教材；3.预习下节内容．课后作业第2课时 分段函数及映射
课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．
一、选择题
1．已知，则f(3)为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )
A．100元 B．90元 C．80元 D．60元
4．已知函数，使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知，则f(7)＝____________.
8．设则f{f[f(－)]}的值为________，f(x)的定义域是______________．
9．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________________．
三、解答题
10．已知，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( )
A．? B．?或{1}
C．{1} D．?
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
1．全方位认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；
(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．
3．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
第2课时 分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象
2．都有唯一 一个映射
作业设计
1．A [∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
2．D
3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A [若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故选A.]
5．A [该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．]
6．C [如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应关系f在Q中有唯一元素和它对应，选项C中，当x＝4时，y＝×4＝?Q，故选C.]
7．6
解析 ∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
8. {x|x≥－1且x≠0}
解析 ∵－1<－<0，
∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
而0<<2，
∴f()＝－×＝－.
∵－1<－<0，∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
因此f{f[f(－)]}＝.
函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<0}∪{x|09．f(x)＝
解析 由图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)
代入解析式，则∴
当0则k＝－1.
10.
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
11．解 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
12．B [由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝，－.
所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A∩B＝?或{1}．故选B.]
13．解 根据题意可得d＝kv2S.
∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，
解得k＝.
∴d＝v2S.
当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝.
1.2.4函数的表示法（二）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）能根据不同情境，选用恰当的方法，求出已知函数的解析式；
（2）会利用函数的图象求函数值域.
2．过程与方法
（1）经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程，熟练掌握求解析式的基本题型及方法；
（2）在运用函数图象求函数值域的过程，体会数形结合思想.
3．情感、态度与价值观
在学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲.
（二）教学重点与难点
重点：求函数解析式的基本题型及方法.
难点：函数图象的应用.
（三）教学方法
指导启发式学习法，通过自我尝试与实践，获得知识，形成技能，通过老师的合理恰当的指导启发，克服学习障碍；学会突破难点，调整和寻找最佳解题方案.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习回顾
整合知识
函数的表示法有三种：解析式、图象法、列表法；它们之间可相互转化，常见形式有：解析式图象法，解析式列表法.
师生合作总结上节课的基本知识及基本方法.
重新体会对于特殊函数可进行三种形式之间的互相转化.
师：分析实现不同形式的转化的意义.
复习回顾、整合知识
进入课题(求函数解析式)
例1 （1）已知f (x)是一次函数，且f [f (x)] = 4x – 1，求f (x)及f (2)；
（2）已知，求f (x)的解析式；
（3）已知f (x) = x (x≠0)，求f (x)的解析式；
（4）已知3f (x5) + f (–x5) = 4x，求f (x)的解析式.
例2 设f (x)是R上的函数，且满足f (0) = 1，并且对任意实数x，y，有f (x – y) = f (x) – y (2x – y + 1)，求f (x)的表达式.
例3 已知f (x)为二次函数，且f (x+1)+f (x–1) = 2x2–4x，
求f (x)的表达式.
小结：求解析式的基本方法：
（1）待定系数法
（2）换元法
（3）配方法
（4）函数方程法.
学习尝试练习求解，老师指导、点评. 师生合作归纳题型特点及适用方法.
例1解：（1）设f (x) = ax + b (a≠0).
则f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = a2x + ab + b.
又f [f (x)] = 4x – 1，
∴a2x + ab + b = 4x – 1.
即
或
∴f (x) = 2x –，或f (x) = –2x + 1.
则，或f (2) = –3.
（2）解法一：∵
==
=，
∴f (x) =
==.
解法二：设t = 1+，则.
又，
∴
==，
∴.
（3）令x = a (a≠0)，则+ f (a) = a；
令x =(a≠0)，则
2 f (a) +.
联立上述两式得f (a) = .
∴f (x) =(x≠0).
（4）令x = a，或x = –a，分别可得
解之得f (a5) = 2a.
又令a5 = t，
∴，
∴f (t) = 2，
∴f (x) = 2.
例2解：法一：由f (0) = 1，f (x – y) = f (x) – y(2x+y+1).
设x=y，得f (0)= f (x)–x (2x–x+1).
∵f (0) = 1，∴f (x)–x (2x–x+1) = 1，
∴f (x) = x2 + x + 1.
法二：令x = 0，得
f (0–y) = f (0) – y (–y + 1)，
即f (–y) = 1 – y (–y + 1).
又令–y = x代入上式得
f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 + x + 1.
即f (x) = x2 + x + 1.
例3解：设f (x)=ax2+bx+c (a≠0)，
则f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x.
∴
∴f (x) = x2 – 2x – 1.
掌握求函数解析式的基本类型及对应方法.
应用举例(函数应用问题)
例4 用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.
例5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
我们把像例4这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.
师生合作解析例3、例4.
师：反映实际问题的函数定义域怎样确定？
生：解析式有意义和实际问题自身条件确定.
例4解：矩形的长AB = 2x，宽为a，则有2x + 2a +x = l，
∴.
半圆的直径为2x，半径为x，所以
·2x
=，
由实际意义得0＜x＜.
即，定义域为
.
例5解：设票价为y，里程为x，由题意可知，自变量x的取值范围是(0, 20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图.
培养学生应用数学知识，解决实际问题的能力.
归纳总结
1．求函数解析式的方法：
换元法、配方法、待定系数法、赋值法.
2．求实际问题函数解析式，关键找具有因果关系的两个变量的联系式.
师生合作总结.
学生整理、小结，老师点评、归纳.
整合知识形成技能.
课后作业
1.2 第四课时习案
学生独立完成
巩固基础、
提高能力
备选例题
例1 经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g (t) = (t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f (t) =+ 22(t∈N*，0≤t≤40)，在后60天内价格为(t∈N*，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
【解析】前40天内日销售额为：
=
∴
后60天内日销售额为：
=.
∴
∴得函数关系式
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t = 10或11时，Smax≈809.
对于40＜t≤100且t∈N*，有当t = 41时，Smax = 714.
综上所述得：当t = 10或11时，Smax≈809.
答：第10天或11天日售额最大值为809元.
