§1.3.1函数的单调性与最大(小)值(1)
第一课时 单调性
【教学目标】
1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
【教学重点难点】
重点:函数的单调性及其几何意义.
难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
【教学过程】
(一)创设情景,揭示课题
观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
随x的增大,y的值有什么变化?
能否看出函数的最大、最小值?
函数图象是否具有某种对称性?
画出下列函数的图象,观察其变化规律:
(1)f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ .
(2)f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ .
(3)f(x) = x2
在区间 ____________ 上,
f(x)的值随着x的增大而 ________ .
在区间 ____________ 上,f(x)的值随
着x的增大而 ________ .
3、从上面的观察分析,能得出什么结论?
学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变
化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题)。
(二)研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢?
学生通过观察、思考、讨论,归纳得出:
函数y = x2在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+∞)上的任意的x1,x2,当x1<x2时,都有x12<x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有这种性质的函数叫增函数。
2.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x13、从函数图象上可以看到,y= x2的图象在y轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能概括出减函数的定义吗?
注意:
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x14.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
(三)质疑答辩,发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性.
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单
调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:略
点评:从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。
变式训练1 函数在上的单调性为 ( )
A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
例2 物理学中的玻意耳定律P=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析:按题意,只要证明函数P=在区间(0,+∞)上是减函数即可。
证明:略
点评:实际问题与函数模型之间的关联十分密切,我们常常借助函数的单调性解决问题。
变式训练2 若函数在上是增函数,那么 ( )
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
例3.16.求证:函数,在区间上是减函数
解:设则
在区间上是减函数。
点评:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
① 任取x1,x2∈D,且x1 ② 作差f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
变式训练3.:画出反比例函数的图象.
这个函数的定义域是什么?
它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
【板书设计】
函数单调性
典型例题
例1: 例2:
小结:
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
§1.3.1函数的单调性与最大(小)值(1)
课前预习学案
一、预习目标:
1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
2.熟记函数单调性的定义
二、预习内容:
1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
随x的增大,y的值有什么变化?
能否看出函数的最大、最小值?
函数图象是否具有某种对称性?
2.画出下列函数的图象,观察其变化规律:
(1)f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ .
(2)f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ .
(3)f(x) = x2
在区间 ____________ 上,
f(x)的值随着x的增大而 ________ .
在区间 ____________ 上,f(x)的值随
着x的增大而 ________ .
3.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,
(1)当x1(2)当x1三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
学习重点:函数的单调性及其几何意义.
学习难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
二、学习过程
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单
调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:
变式训练1 函数在上的单调性为 ( )
A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
例2 物理学中的玻意耳定律P=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
证明:
变式训练2 若函数在上是增函数,那么 ( )
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
例3.证明函数在(1,+∞)上为增函数
解:
变式训练3.:画出反比例函数的图象.
这个函数的定义域是什么?
它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.
三、当堂检测
1、函数的单调增区间为 ( )
A. B. C. D.
2、函数,当时是增函数,当时是减函数,则等于 ( )
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
3、若函数在上是减函数,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4、函数的减区间是____________________.
5、若函数在上是减函数,则的取值范围是______.
课后练习与提高
选择题
1、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 ( )
A. B. C. D.
2、函数的单调减区间是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题:
3、函数,上的单调性是_____________________.
4、已知函数在上递增,那么的取值范围是________.
三、解答题:
5、设函数为R上的增函数,令
(1)、求证:在R上为增函数
(2)、若,求证
参考答案
例一 略 变式训练一B
例二 略 变式训练二C
例三
解:设则
变式训练三略
1.3.1函数的单调性
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.
(2)能利用函数图象划分函数的单调区间,并能利用定义进行证明.
2.过程与方法
由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格,用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义,从而构造函数单调性的概念.
3.情感、态度与价格观
在形与数的结合中感知数学的内在美,在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.
(二)教学重点和难点
重点:理解增函数、减函数的概念;难点:单调性概念的形成与应用.
(三)教学方法
讨论式教学法. 在老师的引导下,学生在回顾旧知,细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑,合作与交流,归纳与总结的过程中获得新知,从而形成概念,掌握方法.
(四)教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
观察一次函数f (x) = x的图象:
函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.
师:引导学生观察图象的升降.
生:看图. 并说出自己对图象 的直观认识.
师:函数值是由自变量的增大而增大,或由自变量的增大而减小,这种变化规律即函数的单调性.
在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.
引入深题
观察二次函数f (x) = x2 的图象:
函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的.
列表:
x
…
– 4
–3
–2
–1
0
f (x) =x2
16
9
4
1
0
1
2
3
4
…
1
4
9
16
…
x∈(–∞,0]时,x增大,f (x)减少,图象下降.
x∈(0,+∞)时,x增大,f (x)也增大, 图象上升.
师:不同函数,其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面,从“数”的方面如何反映.
生:函数作图时列表描点过程中,从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化,函数值随着变小;而自变量由0到4变化,函数值随着自变量的变大而变大.
师:表格数值变化的一般规随是:自变量x增大,函数值y也增大,函数图象上升,称函数为增函数;自变量x增大,函数值y反而减少,函数图象下降. 称函数为减函数.
体会同一函数在不同区间上的变化差异.
引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.
形成概念
函数单调性的概念
一般地,设函数f (x)的定义域为I:
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f (x1)<f (x2),那么就说函数f (x)在区间D上是增函数(increasing fun_ction);
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f (x1)>f (x2),那么就说函数f (x)在区间D上是减函数(decreasing fun_ction).
师:增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢?
师生合作:
对于函数f (x) = x2 在区间(0,+∞)上. 任取x1、x2. 若x1<x2,则f (x1)<f (x2),即x12<x22.
师:称f (x) = x2在(0,+∞)上为增函数.
由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.
应用
举例
例1 如图是定义在区间[–5,5]上的函数y = f (x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
训练题1:
(1)请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.
(2)整个上午(8∶00~12∶00)天气越来越暖,中午时分(12∶00~13∶00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山(18∶00)才又开始转凉. 画出这一天8∶00~20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间.
(3)根据下图说出函数单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律(k为正常数) 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.
训练题2:证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.
师:投影例1.
生:合作交流完成例1.
师:引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.
师:投影训练题1
生:学生通过合作交流自主完成.
例1【解】:y= f (x)的单调区间有[–5,–2),[–2,1),[1,3),[3,5]. 其中y = f (x) 在区间[–5,–2),[1,3)上是减函数,在区间[–2,1),[3,5]上是增函数.
训练题1 答案:(1)在一定范围内,生产效率随着工人数的增加而提高,当工人数达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.
(2)
增区间为[8,12],[13,18];减区间为:[12,13],[18,20].
(3)函数在[–1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]是增函数.
师:打出例2,请学生阐明应用定义证明(判定)并总结证明单调性的基本步骤.
生:学生代表板书证明过程,教师点评.
例2 分析:按题意,只要证明函数在区间(0,+∞)上是减函数即可.
证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,即
.
由V1,V2∈(0,+∞),得V1V2>0.
由V1<V2,得V2 – V1>0.
又k>0,于是
p (V1) – p (V2)>0,
即
p (V1) >p (V2).
所以,函数,V?(0,+∞)是减函数,也就是说,当体积V减小时,压强p将增大.
师:投影训练题2
生:自主完成
训练题2 证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,
因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)>0,
即f (x1)>f (x2),
所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.
掌握利用图象划分函数单调区间的方法.
掌握单调性证明步骤及原理.内化定义,强化划分单调区间的方法.
强化记题步骤与格式.
归纳
小结
1°体会函数单调性概念的形成过程.
2°单调性定义.
3°利用图象划分单调区间.
4°利用定义证明单调性步骤.
师生合作:回顾单调性概念的形式与发展.
师:阐述单调性的意义与作用.
反思回顾
整理知识,提升能力.
课后
练习
1.3第一课时 习案
学生独立完成
巩固知识
培养能力
备选例题:
例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.
【证明】设任意x1、x2?R,且x1<x2,
则f (x1) – f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).
由x1<x2得x1 –x2<0. ∴f (x1) – f (x2)<0,即f (x1)<f (x2).
∴f (x) =3x +2在R上是增函数.
例2 证明函数f (x) =在(0,+∞)上是减函数.
【证明】设任意x1、x2?(0,+ ∞)且x1<x2,
则f (x1) – f (x2) =,
由x1,x2?(0,+∞)得,x1x2>0,又x1<x2,得x2 – x1>0,
∴f (x1) – f (x2) >0,即f (x1)<f (x2).
∴f (x) =在(0,+∞)上是减函数.
§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法.
1.函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是__________.
(3)如果函数y=f(x)在区间D上是________或________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有________________,区间D叫做y=f(x)的__________.
2.a>0时,二次函数y=ax2的单调增区间为________.
3.k>0时,y=kx+b在R上是____函数.
4.函数y=的单调递减区间为__________________.
一、选择题
1.定义在R上的函数y=f(x+1)的图象如右图所示.
给出如下命题:
①f(0)=1;
②f(-1)=1;
③若x>0,则f(x)<0;
④若x<0,则f(x)>0,其中正确的是( )
A.②③ B.①④
C.②④ D.①③
2.若(a,b)是函数y=f(x)的单调增区间,x1,x2∈(a,b),且x1A.f(x1)C.f(x1)>f(x2) D.以上都可能
3.f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上( )
A.至少有一个根 B.至多有一个根
C.无实根 D.必有唯一的实根
4.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是( )
A.递减函数 B.递增函数
C.先递减再递增 D.先递增再递减
5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)D.>0
6.函数y=的单调递减区间为( )
A.(-∞,-3] B.(-∞,-1]
C.[1,+∞) D.[-3,-1]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.设函数f(x)是R上的减函数,若f(m-1)>f(2m-1),则实数m的取值范围是______________.
8.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f(1)=________.
三、解答题
9.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.
10.已知f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且a求证:f(g(x))在(a,b)上也是增函数.
11.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.
能力提升
12.定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0(1)试求f(0)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论.
13.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.
(1)求f(2)的值;
(2)解不等式f(m-2)≤3.
1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域.
2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数f(x)=在(-∞,0)和(0,
+∞)上都是减函数,但不能说函数f(x)=在定义域上是减函数.
3.求单调区间的方法:(1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性.
4.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤.
若f(x)>0,则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决,即“取值——作比变形——与1比较——判断”.
§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1.(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0,+∞) 3.增 4.(-∞,0)和(0,+∞)
作业设计
1.B
2.A [由题意知y=f(x)在区间(a,b)上是增函数,因为x2>x1,对应的f(x2)>f(x1).]
3.D [∵f(x)在[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,
∴①当f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)<0,f(b)>0,
②当f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)>0,f(b)<0,
由①②知f(x)在区间[a,b]上必有x0使f(x0)=0且x0是唯一的.]
4.C [如图所示,该函数的对称轴为x=3,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的.]
5.C [由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A、B、D正确;对于C,若x16.A [该函数的定义域为(-∞,-3]∪[1,+∞),函数f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1,由函数的单调性可知该函数在区间(-∞,-3]上是减函数.]
7.m>0
解析 由f(m-1)>f(2m-1)且f(x)是R上的减函数得m-1<2m-1,∴m>0.
8.-3
解析 f(x)=2(x-)2+3-,
由题意=2,∴m=8.
∴f(1)=2×12-8×1+3=-3.
9.解 y=-x2+2|x|+3
==.
函数图象如图所示.
函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,
函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
∴函数y=-x2+2|x|+3的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],
单调减区间是[-1,0]和[1,+∞).
10.证明 设a∵g(x)在(a,b)上是增函数,∴g(x1)且a∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a,b)上是增函数.
11.解 函数f(x)=在[1,+∞)上是增函数.
证明如下:
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=-
==.
∵1≤x1∴x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
12.解 (1)在f(m+n)=f(m)·f(n)中,
令m=1,n=0,得f(1)=f(1)·f(0).
因为f(1)≠0,所以f(0)=1.
(2)函数f(x)在R上单调递减.
任取x1,x2∈R,且设x1在已知条件f(m+n)=f(m)·f(n)中,
若取m+n=x2,m=x1,
则已知条件可化为f(x2)=f(x1)·f(x2-x1),
由于x2-x1>0,所以0在f(m+n)=f(m)·f(n)中,
令m=x,n=-x,则得f(x)·f(-x)=1.
当x>0时,01>0,
又f(0)=1,所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,
即f(x2)13.解 (1)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,
∴f(2)=3.
(2)由f(m-2)≤3,得f(m-2)≤f(2).
∵f(x)是(0,+∞)上的减函数,
∴,解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}.
课件16张PPT。1.3.1单调性与最大(小)值(1)
------函数的单调性 一.引入课题
观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:问:随x的增大,y的值有什么变化?画出下列函数的图象,观察其变化规律:
1.f(x) = x
① 从左至右图象上升还是下______?
②在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .2.f(x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 ______?
②在区间 ____________ 上,随着x的增
大,f(x)的值随着 ________ . 3.f(x) = x
①在区间 ____________ 上,f(x)的值随
着x的增大而 ________ .
② 在区间 ____________ 上,f(x)的值随
着x的增大而 ________ .2二.新课教学(一)函数单调性定义思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. 注意:
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集;⑵应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如,图5中,在那样的特定位置上,虽然使得f( )>f( ),但显然此图象表示的函数不是一个单调函数;⑶几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.结论1:一次函数 的单调性,单调区间:结论2:二次函数
的单调性,单调区间:(二)典型例题例1.如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数. 注意:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题;对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调,因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以;3.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
① 任取x1,x2∈D,且x1② 作差f(x1)-f(x2);
③ 变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).探究:P30 画出反比例函数
的图象.
①这个函数的定义域是什么?
②它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.结论3:反比例函数
的单调性,单调区间: 三.归纳小结
1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定:函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2、直接利用初等函数的单调区间。 四.作业布置
书面作业:课本P32 练习:2、3
P39习题1.3(A组) 第1- 4题.
2(选做) 证明函数f(x)=x 在(-∞,+∞)上是增函数.3课件67张PPT。1.3 函数的基本性质
——单调性长沙市年生产总值统计表生产总值
(亿元)年份302010 长沙市高等学校在校学生数统计表 人数
(万人)年份人数(人) 长沙市日平均出生人数统计表年份长沙市耕地面积统计表 面积(万公顷)年份y=x+1 1-1Oyxxy21xy21y=x+1 1-1OOyxy=-2x+2 xy21xy21y=x+1 1-1y21OOOyyxxy=-2x+2 y=-x2+2x xy21xy21yxOy=x+1 1-1y21OOOyyxxy=-2x+2 y=-x2+2x xyOxyO0xyO如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyx1<x2如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)x1<x2如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)x1<x2如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)x1<x2如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)x1<x2? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)x1<x2? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2x1<x2 ? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2x1<x2 ? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2 函数f (x)在给定
区间上为增函数.x1<x2 ? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象?x2x1Oxyy=f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数.x1<x2 ? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象?x2x1Oxyy=f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数.在给定区间上任取x1, x2x1<x2 ? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象?x2x1Oxyy=f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数.x1<x2 ? f(x1)>f(x2)在给定区间上任取x1, x2x1<x2 ? f(x1)<f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象?Oxyy=f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象?x2x1Oxyy=f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数. 函数f (x)在给定
区间上为减函数.x1<x2 ? f(x1)>f(x2)在给定区间上任取x1, x2增函数、减函数的概念:增函数、减函数的概念:一般地,设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
增函数、减函数的概念:一般地,设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念:一般地,设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.一般地,设函数f(x)的定义域为I.增函数、减函数的概念:1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.一般地,设函数f(x)的定义域为I.增函数、减函数的概念:1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念:一般地,设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念:一般地,设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念:一般地,设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有
f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.一般地,设函数f(x)的定义域为I.增函数、减函数的概念:函数单调性的概念:函数单调性的概念:函数单调性的概念:-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5例1 右图是定义在
闭区间[-5, 5]上
的函数y=f(x)的图
象,根据图象说出
y=f(x)的单调区间,
以及在每一单调区
间上, y=f(x)是增函数还是减函数.例1 右图是定义在
闭区间[-5, 5]上
的函数y=f(x)的图
象,根据图象说出
y=f(x)的单调区间,
以及在每一单调区
间上, y=f(x)是增函数还是减函数.-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),
[-2, 1),[1, 3),[3, 5],解:-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),
[-2, 1),[1, 3),[3, 5],其中y=f(x)在[-5,-2),[1, 3)上是减函数,
在区间[-2, 1),[3, 5]上是增函数.解:例1 右图是定义在
闭区间[-5, 5]上
的函数y=f(x)的图
象,根据图象说出
y=f(x)的单调区间,
以及在每一单调区
间上, y=f(x)是增函数还是减函数.-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),
[-2, 1),[1, 3),[3, 5],其中y=f(x)在[-5,-2),[1, 3)上是减函数,
在区间[-2, 1),[3, 5]上是增函数.图象法解:例1 右图是定义在
闭区间[-5, 5]上
的函数y=f(x)的图
象,根据图象说出
y=f(x)的单调区间,
以及在每一单调区
间上, y=f(x)是增函数还是减函数.变式1:求y=x2-4x+5的单调区间.变式2: y=x2-ax+4在[2,4]上是
单调函数,求a的取值范围.变式1:求y=x2-4x+5的单调区间.例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数. 判定函数在某个区间上的单调性的
方法步骤:3. 判断上述差的符号;4. 下结论1. 设x1, x2∈给定的区间,且x1<x2;2. 计算f(x1)-f(x2) 至最简;(若差<0,则为增函数;
若差>0,则为减函数).定义法例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数.定义法变式1:函数f(x)=-3x+2在R上是增函数
还是减函数?例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数.定义法变式2:函数f(x)=kx+b(k≠0)在R上是增
函数还是减函数?并证明.变式1:函数f(x)=-3x+2在R上是增函数
还是减函数?例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数.例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是
减函数.变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数
还是减函数?例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是
减函数.变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数
还是减函数?变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的
单调性.例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是
减函数.变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数
还是减函数?变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的
单调性.结论:函数f(x)= 在其定义域上不具有
单调性.例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是
减函数.1.两个定义:增函数、减函数. 课堂小结1.两个定义:增函数、减函数. 2.两种方法:判断函数单调性的方法
有图象法、定义法.课堂小结1.阅读教材P.27 -P.30;
2.《习案》:作业9.课后作业课件21张PPT。 函数的单调性如何描述函数图象的“上升”“下降”思考? 如何利用函数解析式y=x2描述:
“随x的增大,相应的f(x)随着减小”,
“随x的增大,相应的f(x)随着增大”.当x1<x2时, 增函数定义设f(x)的定义域为I:那么就说f(x)在区间D上是增函数.都有f(x1)< f(x2),如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,减函数定义y当x1<x2时,设f(x)的定义域为I那么就说f(x)在区间D上是减函数.都有f(x1)> f(x2),如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,
当x1 当x1f(x2 ),那么就说在这个区间上是减函数设f(x)的定义域为I:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.思考?
函数y=x2在定义域上具有单调性吗?[例1]下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y= f(x)是增函数还是减函数.函数单调性是函数在某个区间上的性质(1)这个区间可以是整个定义域
如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数(3)有的函数没有单调性区间(2)这个区间也可以是定义域的真子集
如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]
是减函数,在 [0,+∞)是增函数.证明:(条件)(论证结果)(结论)④定号:(判断符号)证明函数单调性的步骤①取值:对于x1,x2∈D,且x10.
∴ f(x1)- f(x2)>0. 即f(x1)> f(x2)2.下列表述中: (1) f(a)(2) 存在x1,x2∈[a,b],当a≤x1 f(x1)(3) 对任意x1,x2∈[a,b],当a≤x1 都有f(x1)(4) 对任意x1,x2∈[a,b],当a≤x1 都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
(5) 对任意x∈R,都有f(x)可确定函数y=f(x)在区间[a,b]上为增函数的有( )个
A. 1 B .2 C .3 D. 4 B 课堂练习1. 课本P32页练习 2, 3.3. (1) 画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象;
(2) 证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;
(3) 当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围. 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.1. 课本P39页 习题1.3A组 2(2), 3.作业:此时f(x)为减函数.当a<0时,f(x1)且a< g(x)