§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）
第一课时 单调性
【教学目标】
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
【教学重点难点】
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x13、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x14．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。
变式训练1 函数在上的单调性为 （ ）
A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。
变式训练2 若函数在上是增函数，那么 （ ）
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
例3．16.求证：函数，在区间上是减函数
解：设则
在区间上是减函数。
点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1 ② 作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
变式训练3.：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
【板书设计】
函数单调性
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）
课前预习学案
一、预习目标：
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2.熟记函数单调性的定义
二、预习内容：
1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，
（1）当x1（2）当x1三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
学习重点：函数的单调性及其几何意义．
学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
二、学习过程
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：
变式训练1 函数在上的单调性为 （ ）
A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：
变式训练2 若函数在上是增函数，那么 （ ）
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
例3．证明函数在（1，+∞）上为增函数
解：
变式训练3.：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
三、当堂检测
1、函数的单调增区间为 （ ）
A. B. C. D.
2、函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于 （ ）
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
3、若函数在上是减函数，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
4、函数的减区间是____________________.
5、若函数在上是减函数，则的取值范围是______.
课后练习与提高
选择题
1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.
2、函数的单调减区间是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
3、函数，上的单调性是_____________________.
4、已知函数在上递增，那么的取值范围是________.
三、解答题：
5、设函数为R上的增函数，令
（1）、求证：在R上为增函数
（2）、若，求证
参考答案
例一 略 变式训练一B
例二 略 变式训练二C
例三
解：设则
变式训练三略
1.3.1函数的单调性
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.
（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.
2．过程与方法
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.
3．情感、态度与价格观
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.
（二）教学重点和难点
重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.
（三）教学方法
讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
观察一次函数f (x) = x的图象：
函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的.
师：引导学生观察图象的升降.
生：看图. 并说出自己对图象 的直观认识.
师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.
在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.
引入深题
观察二次函数f (x) = x2 的图象：
函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.
列表：
x
…
– 4
–3
–2
–1
0
f (x) =x2
16
9
4
1
0
1
2
3
4
…
1
4
9
16
…
x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.
x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升.
师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.
生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.
师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.
体会同一函数在不同区间上的变化差异.
引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.
形成概念
函数单调性的概念
一般地，设函数f (x)的定义域为I：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数（decreasing fun_ction）.
师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？
师生合作：
对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.
师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.
由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.
应用
举例
例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
训练题1：
（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.
（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.
训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.
师：投影例1.
生：合作交流完成例1.
师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.
师：投影训练题1
生：学生通过合作交流自主完成.
例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.
训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.
（2）
增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].
（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.
师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.
生：学生代表板书证明过程，教师点评.
例2 分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可.
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即
.
由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.
由V1＜V2，得V2 – V1＞0.
又k＞0，于是
p (V1) – p (V2)＞0，
即
p (V1) ＞p (V2).
所以，函数，V?(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
师：投影训练题2
生：自主完成
训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，
即f (x1)＞f (x2)，
所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.
掌握利用图象划分函数单调区间的方法.
掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.
强化记题步骤与格式.
归纳
小结
1°体会函数单调性概念的形成过程.
2°单调性定义.
3°利用图象划分单调区间.
4°利用定义证明单调性步骤.
师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.
师：阐述单调性的意义与作用.
反思回顾
整理知识，提升能力.
课后
练习
1.3第一课时 习案
学生独立完成
巩固知识
培养能力
备选例题：
例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.
【证明】设任意x1、x2?R，且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).
由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) – f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x) =3x +2在R上是增函数.
例2 证明函数f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
【证明】设任意x1、x2?(0，+ ∞)且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) =，
由x1，x2?(0，+∞)得，x1x2＞0，又x1＜x2，得x2 – x1＞0，
∴f (x1) – f (x2) ＞0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________．
2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．
3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．
4．函数y＝的单调递减区间为__________________．
一、选择题
1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：
①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；
③若x>0，则f(x)<0；
④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( )
A．②③ B．①④
C．②④ D．①③
2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1A．f(x1)C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根 B．至多有一个根
C．无实根 D．必有唯一的实根
4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
6．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，
＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．B
2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]
3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x16．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m>0
解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)且a∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
11．解 函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，01>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
课件16张PPT。1.3.1单调性与最大（小）值（1）
------函数的单调性 一.引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：问：随x的增大，y的值有什么变化？画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
① 从左至右图象上升还是下______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 ______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x
①在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．2二.新课教学（一）函数单调性定义思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得f( )>f( )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.结论1：一次函数 的单调性，单调区间：结论2：二次函数
的单调性，单调区间：（二）典型例题例1．如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．探究：P30 画出反比例函数
的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．结论3：反比例函数
的单调性，单调区间： 三.归纳小结
1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2、直接利用初等函数的单调区间。 四.作业布置
书面作业：课本P32 练习：2、3
P39习题1．3（A组） 第1- 4题．
2(选做) 证明函数f(x)=x 在(-∞，+∞)上是增函数.3课件67张PPT。1.3 函数的基本性质
——单调性长沙市年生产总值统计表生产总值
(亿元)年份302010 长沙市高等学校在校学生数统计表 人数
(万人)年份人数(人) 长沙市日平均出生人数统计表年份长沙市耕地面积统计表 面积(万公顷)年份y＝x＋1 1-1Oyxxy21xy21y＝x＋1 1-1OOyxy＝－2x＋2 xy21xy21y＝x＋1 1-1y21OOOyyxxy＝－2x＋2 y＝－x2＋2x xy21xy21yxOy＝x＋1 1-1y21OOOyyxxy＝－2x＋2 y＝－x2＋2x xyOxyO0xyO如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyx1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)x1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)x1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)x1＜x2如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)x1＜x2? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)x1＜x2? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2 函数f (x)在给定
区间上为增函数.x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数.x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数.在给定区间上任取x1, x2x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数.x1＜x2 ? f(x1)＞f(x2)在给定区间上任取x1, x2x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2)如何用x与f(x)来描述上升的图象？Oxyy＝f(x)在给定区间上任取x1, x2如何用x与f(x)来描述下降的图象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2) 函数f (x)在给定
区间上为增函数. 函数f (x)在给定
区间上为减函数.x1＜x2 ? f(x1)＞f(x2)在给定区间上任取x1, x2增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
增函数、减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.一般地，设函数f(x)的定义域为I.增函数、减函数的概念：1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.一般地，设函数f(x)的定义域为I.增函数、减函数的概念：1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.增函数、减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为I.1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数.
2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数.一般地，设函数f(x)的定义域为I.增函数、减函数的概念：函数单调性的概念：函数单调性的概念：函数单调性的概念：-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5例1 右图是定义在
闭区间[－5, 5]上
的函数y＝f(x)的图
象，根据图象说出
y＝f(x)的单调区间，
以及在每一单调区
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．例1 右图是定义在
闭区间[－5, 5]上
的函数y＝f(x)的图
象，根据图象说出
y＝f(x)的单调区间，
以及在每一单调区
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，
[－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，解：-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，
[－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数，
在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．解：例1 右图是定义在
闭区间[－5, 5]上
的函数y＝f(x)的图
象，根据图象说出
y＝f(x)的单调区间，
以及在每一单调区
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，
[－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数，
在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．图象法解：例1 右图是定义在
闭区间[－5, 5]上
的函数y＝f(x)的图
象，根据图象说出
y＝f(x)的单调区间，
以及在每一单调区
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.变式2： y＝x2－ax＋4在[2，4]上是
单调函数，求a的取值范围.变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.例2 证明：函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数． 判定函数在某个区间上的单调性的
方法步骤:3. 判断上述差的符号;4. 下结论1. 设x1, x2∈给定的区间，且x1＜x2;2. 计算f(x1)－f(x2) 至最简;(若差＜0，则为增函数;
若差＞0，则为减函数).定义法例2 证明：函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数．定义法变式1：函数f(x)＝－3x＋2在R上是增函数
还是减函数？例2 证明：函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数．定义法变式2：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上是增
函数还是减函数？并证明．变式1：函数f(x)＝－3x＋2在R上是增函数
还是减函数？例2 证明：函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数．例3 证明：函数f(x)＝ 在(0, ＋∞)上是
减函数．变式1：f(x)＝ 在(－∞, 0)上是增函数
还是减函数？例3 证明：函数f(x)＝ 在(0, ＋∞)上是
减函数．变式1：f(x)＝ 在(－∞, 0)上是增函数
还是减函数？变式2：讨论函数f(x)＝ 在定义域上的
单调性．例3 证明：函数f(x)＝ 在(0, ＋∞)上是
减函数．变式1：f(x)＝ 在(－∞, 0)上是增函数
还是减函数？变式2：讨论函数f(x)＝ 在定义域上的
单调性．结论：函数f(x)＝ 在其定义域上不具有
单调性．例3 证明：函数f(x)＝ 在(0, ＋∞)上是
减函数．1．两个定义：增函数、减函数． 课堂小结1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法：判断函数单调性的方法
有图象法、定义法．课堂小结1．阅读教材P.27 -P.30；
2．《习案》：作业9.课后作业课件21张PPT。 函数的单调性如何描述函数图象的“上升”“下降”思考? 如何利用函数解析式y=x2描述:
“随x的增大，相应的f(x)随着减小”,
“随x的增大，相应的f(x)随着增大”.当x1＜x2时, 增函数定义设f(x)的定义域为I:那么就说f(x)在区间D上是增函数.都有f(x1)＜ f(x2)，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,减函数定义y当x1＜x2时,设f(x)的定义域为I那么就说f(x)在区间D上是减函数.都有f(x1)> f(x2)，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,
当x1 当x1f(x2 )，那么就说在这个区间上是减函数设f(x)的定义域为I:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.思考?
函数y=x2在定义域上具有单调性吗？[例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.函数单调性是函数在某个区间上的性质(1)这个区间可以是整个定义域
如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数(3)有的函数没有单调性区间(2)这个区间也可以是定义域的真子集
如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]
是减函数,在 [0,+∞)是增函数.证明：（条件）（论证结果）（结论）④定号:（判断符号）证明函数单调性的步骤①取值：对于x1,x2∈D，且x10.
∴ f(x1)- f(x2)>0. 即f(x1)> f(x2)2.下列表述中: (1) f(a)(2) 存在x1,x2∈[a,b],当a≤x1 f(x1)(3) 对任意x1,x2∈[a,b],当a≤x1 都有f(x1)(4) 对任意x1,x2∈[a,b],当a≤x1 都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]>0
(5) 对任意x∈R,都有f(x)可确定函数y=f(x)在区间[a,b]上为增函数的有（ ）个
A. 1 B .2 C .3 D. 4 B 课堂练习1. 课本P32页练习 2, 3.3. (1) 画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
(2) 证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
(3) 当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围. 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数,求实数a的取值范围.1. 课本P39页 习题1.3A组 2(2), 3.作业:此时f（x）为减函数.当a<0时，f(x1)且a< g(x)
