1. 3.2函数的奇偶性
【教学目标】
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3.学会判断函数的奇偶性；
【教学重难点】
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
－1 0
通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
（2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。
变式训练1
（1）、 （2）、
（3）、
解：（1）、函数的定义域为R，
所以为奇函数
（2）、函数的定义域为，定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数
（3）、函数的定义域为{-2，2},,所以函数既是奇函数又是偶函数
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数
点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论：
若；
若．
变式训练2
判断函数的奇偶性：
解：（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
四、当堂检测．
五、归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
一些结论：
1.偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
2.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
【板书设计】
函数奇偶性的概念
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
1.3.2函数的奇偶性
课前预习学案
一、预习目标：
理解函数的奇偶性及其几何意义
二、预习内容：
函数的奇偶性定义：
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么就叫做 函数．
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有 ，那么就叫做 函数．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3.学会判断函数的奇偶性；
学习重点：函数的奇偶性及其几何意义
学习难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
二、学习过程
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1） （2）
变式训练1（1）、 （2）、
（3）、
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
变式训练2
判断函数的奇偶性：
三、【当堂检测】
1、函数的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、 若函数是偶函数，则是（ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
3、若函数是奇函数，且，则必有 （ ）
A． B. C. D.不确定
4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是
（ ）
A． B.
C. D.
5、已知函数是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实数根的和为 （ ）
A．4 B.2 C.1 D.0
6、函数是_______函数.
7、若函数为R上的奇函数，那么______________.
8、如果奇函数在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么在区间[-7,-3]上的最______________值为____________.
课后练习与提高
一、选择题
1、函数的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（ ）
A． B. C. D.
二、填空题：
3、为R上的偶函数，且当时，，则当时，_____________________________.
4、函数为偶函数，那么的大小关系为__________________.
三、解答题：
5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有
（1）、求的值；
（2）、判断函数的奇偶性，并加以证明
参考答案
例1．解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
变式训练1
解：（1）、函数的定义域为R，
所以为奇函数
（2）、函数的定义域为，定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数
（3）、函数的定义域为{-2，2},,所以函数既是奇函数又是偶函数
课件12张PPT。1.3.2函数的奇偶性1．偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.例5、判断下列函数的奇偶性：3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.课堂练习判断下列函数的奇偶性：3.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：
a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.解：画法略本课小结1.3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
课时目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于______对称．
(2)奇函数的图象关于______对称．
3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
一、选择题
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D.＝－1
3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是( )
A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称
B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称
C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立
D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________________________________.
8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
11．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
能力提升
12．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是____________________________．
13．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
1．函数奇偶性
(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．
(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系
(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．
(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．
1．3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
知识梳理
1．(1)任意 f(－x)＝f(x) (2)任意 f(－x)＝－f(x)
2．(1)y轴 (2)原点
作业设计
1．B [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]
2．D [∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]
3．A [函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
4．C [∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，
都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]
5．C [∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，∴a＝－1.]
6．C [由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.]
7．2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
8．(－2,0)∪(2,5]
解析 由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观察可得答案．
9．0
解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)
＝－f(1)＝－4，
∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.
10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11．解 (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得1
12．f()解析 因y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，
∴f()13．解 (1)令a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0；
令a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
因为f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，
而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，
∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
即f(x)为奇函数．
1.3.3 函数的奇偶性
（一）教学目标
1．知识与技能：
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.
2．过程与方法：
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.
3．情感、态度与价值观：
通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.
（二）教学重点与难点
重点：函数的奇偶性的概念；
难点：函数奇偶性的判断.
（三）教学方法
应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义
教师提出问题，学生回答.
为学生认识奇、偶函数的图象特征做好准备.
概念形成
1．要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象.
2．多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，x =±，… 的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：
f (–x) = – f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.
3．奇函数、偶函数的定义：
奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有
f (–x) = – f (x)，
则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有
g (– x) = – g (x)，
则这个函数叫做偶函数.
1．教师指导，学生作图，学生作完图后教师提问：观察我们画出的两个函数的图象，分别具有怎样的对称性？
学生回答：f (x) =x3关于原点成中心对称图形；g (x) = x2关于y轴成轴对称图形.
2．老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律，然后要求学生给出证明；学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特征：
f (–x) = – f (x)，
g (–x) = – g (x).
3.教师引导归纳：这时我们称函数f (x) = x3这样的函数为奇函数，像函数g (x) = x2这样的函数为偶函数，请同学们根据对奇函数和偶函数的初步认识加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义.
学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善. 在屏幕展示奇函数和偶函数的定义.
老师：根据定义，哪些同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？
学生：f (x) = ，
f (x) = –x6 – 4x4，….
1．要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下一步问题的提出做好准备. 并通过问题来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征.
2．通过特殊值让学生认识两个函数各自对称性实质：是自变量互为相反数时，函数值互为相反数和相等这两种关系.
3．通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识，此时再让学生给奇函数和偶函数下定义应是水到渠成.
概念深化
（1）强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性?.
（2）奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
（3）奇函数与偶函数图象的对称性：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
教师设计以下问题组织学生讨论思考回答.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？
问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：
（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.
（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？
学生通过回答问题3 可以把奇函数图象的性质总结出来，然后老师让学生自己研究一下偶函数图象的性质.
通过对三个问题的探讨，引导学生认识到：（1）函数的奇偶性 是函数在定义域上的一个整体性质，它不同于单调性.（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件.
（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
应用举例
例1 判断下列函数的奇偶性；
（1）f (x) = x + x3 +x5；
（2）f (x) = x2 +1；
（3）f (x) = x + 1；
（4）f (x) = x2，x∈[–1，3]；
（5）f (x) = 0.
学生练习：
判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x3；
(2) f (x) = – x2；
(3) h (x) = x3 +1；
(4) k (x) =，x[–1，2]；
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)；
(6) g (x) = x (x + 1)；
(7) h (x) = x +；
(8) k (x) =.
例2 研究函数y =的性质并作出它的图象.
学生练习：
1．判断下列论断是否正确：
（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对原对称，则这个函数关于原点对称；则这个函数为奇函数；
（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义关于坐标原点对称，
（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
2．如果f (0) = a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
3.如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？
4．如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (– 4).
5．如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
1．选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳.
2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单.
3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固. 在学生练习过程中，教师做好巡视指导.
例1 解答案
（1）奇函数
（2）偶函数
（3）非奇非偶函数
（4）非奇非偶函数
（5）既奇又偶函数
学生练习答案
（1）奇函数
（2）偶函数
（3）非奇非偶函数
（4）非奇非偶函数
（5）偶函数
（6）非奇非偶函数
（7）奇函数
（8）偶函数
例2 偶函数（图略）
学生练习
1．（1）错
（2）错
（3）错
（4）对
2．不能为奇函数但可以是偶函数
3．偶函数
∵f (–x ) = f (x)
g (–x) = g (x)
∴F (–x) = F (x)
4．f (–4) = – f (4) = –2.
5．∵f (–3)＞f (–1)
又f (–3) = f (3)
f (–1) = f (1)
∴f (3)＞f (1)
1．通过例1解决如下问题：
①根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = – f (x).
②通过例1中的第（3）小题说明判断函数既不是奇函数也不是偶函数.
③ 例1中的第（4）小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.
④ f (x) = 0既不奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.
⑤总结：对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.
2．对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便. 在此问题的处理上要先求一下函数的定义域，这是研究函数性质的基础，然后判断函数图象的对称性，再根据奇、偶函数在y轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质.
归纳总结
从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.
让学生谈本节课的收获，并进行反思.
关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获.
布置作业
1.3第三课时 习案.
学生独立完成
通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容. 并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会.
备选例题.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x) =；
（2）f (x) =.
解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得
f (x) =
=，
f (–x) =
=
= – f (x)，
∴f (x)是奇函数.
（2）函数定义域为（–∞，+∞），
f (–x) === f (x).
∴f (x)为偶函数.
例2 （1）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) + g (x) =，求函数f (x)，g (x)的解析式；
（2）设函数f (x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x)在(0，+∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数F (x) =在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.
解析：（1）∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
∴f (–x) = f (x)，g (– x) = –g (x)，
由f (x) + g (x) = ①
用–x代换x得f (–x) + g (– x) =，
∴f (x) –g (x) =， ②
(① + ②)÷2 = 得f (x) =； (① – ②)÷2 = 得g (x) =.
（2）F (x)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：
设x1，x2?(–∞，0)，且x1＜x2.
则△x = x2 – x1＞0且–x1，–x2?(0，+∞)，
且–x1＞– x2，
则△(–x) = (–x2) – (–x1) = x1–x2 = –△x＜0，
∵f (x)在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x2) – f (–x1)＞0 ①
又∵f (x)在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x1) = – f (x1)，f (–x2) = – f (x2)，
由①式得 – f (x2) + f (x1) ＞0，
即f (x1) – f (x2)＞0. 当x1＜x2＜0时，F (x2) – F (x1) =，
又∵f (x)?在(0，+∞)上总小于0，
∴f (x1) = – f (–x1)＞0，f (x2) = – f (–x2)＞0，f (x1)·f (x2)＞0，
又f (x1) – f (x2)＞0，∴F (x2) – F (x1)＞0且△x = x2 – x1＞0，
故F (x) =在(–∞，0)上是增函数.
课件9张PPT。1.3 函数的基本性质
——奇偶性2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的
偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？ 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？ 练 习2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的
偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？ 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？ 练 习(不能为奇函数但可以是偶函数)2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的
偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？ 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？ 练 习(不能为奇函数但可以是偶函数)(是偶函数)3. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
图象，求f (－4).4. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部
图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.练 习⑴⑵例1 已知函数f (x)是偶函数，而且
在(0，＋∞)上是减函数，判断f (x)
在(－∞，0)上是增函数还是减函数，
并证明你的判断. 《习案》P.168第3题例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函
数，且f (x)＜0，试判断函数在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.求函数f (x)，g(x)的解析式；2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 课堂小结1. 奇函数、偶函数的定义；3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.1．阅读教材P.33-P.36；
2．《学案》双基训练P.37-P.38.课后作业1、3、2奇偶性 同步练习
选择题
1、若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、D、（－2，2）
2、设，二次函数的图象下列之一：则a的值为 （ ）
A、1 B、－1 C、 D、
3、已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、函数f(x)=的图象 ( )
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称
C、关于原点对称 D、关于直线x=1对称
5、如果函数f(x)=+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么（ ）
A、f(2)C、f(2)6、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是（ ）
A、增函数且最小值为－5 B、增函数且最大值为－5
C、减函数且最小值为－5 D、减函数且最大值为－5
7、定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合、设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)< g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)其中成立的是（ ）
A、①与④ B、②与③ C、①与③ D、②与④
填空题
8、已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则= _____
9、已知函数是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：
（1）、；
（2）、若 在 [0, 上有最小值 (1，则在上有最大值1；
（3）、若 在 [1, 上为增函数，则在上为减函数；
其中正确的序号是：
10、函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________
11、函数的奇偶性是________
12、已知函数是偶函数，且定义域为[a-1,2a],则a=_____,b=_______。
解答题
13、已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，
证明：在上也是增函数。
14、为上的奇函数，当时，，求的解析式。
15、（1）定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围。
(2) 定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求的取值范围。
答案：
选择题
1、D；2、C；3、；A；4、C；5、A；6、B；7、C
填空题
8、-1
9、① ②
10、(－∞,－1]
11、奇函数
12、
解答题
13、证明：设，则∵在上是增函数。
∴,又在上是奇函数。
∴,即
所以，在上也是增函数。
14、解：设，由于是奇函数，故，
又，由已知有
从而解析式为
15、解：(1)∵∴
∵奇函数 ∴ 又∵在上为减函数，
∴ 解得
(2)因为函数在上是偶函数，
则有，可得
又当时，为减函数，得到解之得。
