§1.3.1函数的单调性与最大（小）值
第二课时函数的最大（小）值
【教学目标】
（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
【教学重点难点】
重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
【教学过程】
一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
二、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
点评：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
变式训练1：设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b， 在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．
A．4 B．8 C．10 D．16
例2.
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
点评：结合二次函数性质及函数单调性的定义解决问题
变式训练2. 函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( )
A. B. C. (－∞,5) D.
四、小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
【板书设计】
函数最值
典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（2）
课前预习学案
一、预习目标：
认知函数最值的定义及其几何意义
二、预习内容：
1. 画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
2. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最 值．
3.试给出最小值的定义.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
学习重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
学习难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
二、学习过程
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：
变式训练1：设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b， 在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．
A．4 B．8 C．10 D．16
例2.
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：
变式训练2. 函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( )
A. B. C. (－∞,5) D.
三、当堂检测
1.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则 ，的大小关系是 （ ）
A B
C D
2.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是
A．（，） B．（，） C．（，） D．
3.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
4.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（ ）
A．（，） B.［，） C.(，） D.［，）
课后练习与提高
1已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0
A.f(x1)C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
2已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．对、，记=，则函数f（x）＝min{|x+1|,|x-1|}(xR)的单调增区间为
A. B. C. 和 D. 和
4．若函数内为增函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5.(04上海)若函数f(x)=a|x-b|+2在 上为增函数,则实数a,b的取值范围是____________
6设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题:
(1)若f(x)单调递增, g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增
(2) 若f(x)单调递增, g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增
(3)若f(x)单调递减, g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减
(4) 若f(x)单调递减, g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减
其中,正确命题的序号为_______________
7、求函数在[2，5]上的最大值和最小值
参考答案
例1略 变式训练1 B
当堂检测
1.A 2.A 3.D 4.A
课后练习与提高
1. A 2. C 3. D 4. A 5. a>0 b<0 6. (3)(2)
7. 解析：，可证f(x)在[2,5]上是减函数，
故 当x=2时，f(x)最大值为2
当x=5时，f(x)最小值为
第2课时 函数的最大(小)值
课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．
1．函数的最大值、最小值
最值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__________．
(2)存在x0∈I，使得__________.
(3)对于任意的x∈I，都有__________．
(4)存在x0∈I，使得__________．
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
2.函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3 B．a≥－3
C．a≤5 D．a≥3
2．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值2
D．无最大值，也无最小值
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)C．f(2)5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．没有最大值也没有最小值
6．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1
B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值
D．无最大值，也无最小值
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．函数的最大(小)值
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．
(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：
最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min.
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有
最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
第2课时 函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f(x)≤M (2)f(x0)＝M (3)f(x)≥M (4)f(x0)＝M
2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)
作业设计
1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.]
2．A [∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]
3．D [由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]
4．D [依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．C [y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－46．D [f(x)＝≤.]
7．(0,2]
解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
8．－2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析 函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
12．C [画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值，从而选C.]
13．解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝.
作图(如右所示)．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝
课件15张PPT。1.3.1 函数的最大（小）值画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的
关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 课堂练习1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( )
A、a≥3 B、a≤3
C、a≥-3 D、a≤-3D2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,39]归纳小结 1、函数的最大（小）值及其几何意义． 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 1.3.2 函数的最大（小）值
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.
（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
2．过程与方法
借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.
3．情感、态度与价值观
在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.
（二）教学重点与难点
重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.
（三）过程与方法
合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0).
从而x?R. 都有f (x) ≥f (0).
因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.
2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，
f (0)是函数值中的最大值.
师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；
师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.
应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念
函数最大值概念：
一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：
（1）对于任意x都有f (x) ≤M.
（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.
那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.
师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即
f (x0)≤ f (x)意味着什么？
生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：
①x0?定义域；
②f (x0) ?值域；
③f (x0)是整个定义域上函数值最大的.
由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念
函数最小值概念.
一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
（1）对于任意x?I，都有f (x)≥M.
（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.
那么，称M是函数y = f (x)的最小值.
师：怎样理解最大值.
生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.
师：函数最小值怎样定义？
师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.
由最大值定义类比最小值定义.
应用举例
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
训练题1：
已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x?[t，t +2]时，求函数f (x)的最值.
例2 已知函数y =(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值.
训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 .
训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.
例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：
当t ==1.5时，函数有最大值
h =≈29.
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
师：投影训练题1、2.
生：学生相互讨论合作交流完成.
训练题1解：∵对称轴x = 1，
（1）当1≥t +2即t≤–1时，
f (x)max = f (t) = t 2 –2t –3，
f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3.
（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时，
f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3，
f (x)min= f (1) = – 4.
（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，
f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，
f (x)min = f (1) = – 4.
（4）当1＜t，即t＞1时，
f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3，
f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3.
设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有
g (t) =
例2分析：由函数y =(x?[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f (x1) – f (x2) =
=
=.
由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0，
于是 f (x1) – f (x2)＞0，
即 f (x1)＞f (x2).
所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.
训练题2答案：最小值.
训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.
解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：
y = b·+ ax2·.
∴y = s (a x +) . （其中x?(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.
设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) – f (x2)
= s[(ax1 +)– (ax2 +)]
= s[a (x1– x2) +]
=
=
∵x1，x2＞0，且x1＜x2
∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0
∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)，
当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2).
综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶.
自学与指导相结合，提高学生的学习能力.
讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养
进一步固化求最值的方法及步骤.
（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.
（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结
1．最值的概念
2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.
师生交流合作总结、归纳.
培养学生的概括能力
课后作业
1.3第二课时 习案
学生独立完成
能力培养
备选例题
例1 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).
（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.
解：（1）当a =时，f (x) = x ++2
因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，
所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =.
（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立.
设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞)上递增.
∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，
∴a＞–3.
解法二：f (x) = x ++2 x[1，+∞).
当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.
于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3.
例2 已知函数f (x)对任意x，y?R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.
（1）求证f (x)是R上的减函数；
（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.
证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得： f (–x) = – f (x)，
在R上任取x1＞x2，则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2).
∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) – f (x2)＞0.
由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.
f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2.
即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.
课件22张PPT。1.3 函数的基本性质
——最大(小)值复习引入问题1 函数f (x)＝x2.
在(－∞, 0]上是减函数，
在[0, +∞)上是增函数.
当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0).
从而x∈R，都有f (x) ≥f (0).
因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.复习引入问题2 函数f (x)＝－x2.
同理可知x∈R，
都有f (x)≤f (0).
即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.函数最大值概念：讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课函数最大值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.讲授新课函数最小值概念：讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课函数最小值概念：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.讲授新课例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)是函数f (x)的一个 .讲授新课求函数的最大值和最小值.例2 已经知函数y＝(x∈[2，6])，讲授新课y21246135xO讲授新课求函数的最大值和最小值.例2 已经知函数y＝(x∈[2，6])，例3 已知函数f(x)＝(Ⅰ)当a＝(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立，
试求实数a的取值范围.x∈[1,+∞).讲授新课1. 最值的概念；课堂小结1. 最值的概念；课堂小结2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.1. 阅读教材P.30 -P.32；
2．课后作业《习案》：作业10.思考题：1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈
[t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.思考题：1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈
[t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.2.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有
f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时，(1)求证f (x)是R上的减函数；
(2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.f (x)＜0，f (1)＝课件15张PPT。1.3.1 单调性与最大（小）值 第三课时 函数的最值问题提出1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
如果函数的图象存在最高点或最低点，它又
反映了函数的什么性质？函数的最值知识探究（一）观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象有何共同特征？AB 第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最高点思考2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系? 函数图象上任意点P(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？ 函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值思考4:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?f(x) ≤M思考5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2成立吗?f(x)的最大值是2吗?为什么?思考6:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能给出函数最大值的定义，用什么符号表示？思考7:函数的最大值的定义中f(x) ≤M即f(x) ≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ f(X) ≤M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M，这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M。思考8：函数最大值的几何意义是什么？函数图象最高点的纵坐标。思考10：由问题9你发现了什么值得注意的地方？讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。知识探究（二）观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。知识探究（三）理论迁移 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟
花之一。制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂,
如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为
h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。例3．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是①审清题意读懂题；②实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论。 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合。3、利用图象求函数的最大（小）值课堂小结：（1）函数的最大（小）值的概念
（2）求函数的最大（小）值一般方法课后作业： P39 Ａ组Ｔ５、Ｂ组Ｔ1 ①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值 ②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值1．3．1单调性与最大（小）值 同步练习
选择题
1、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )
A、y=-3x+1 B、y=|x+2| C、y= D、y=x2-4x+3
2、函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A、[3，+∞ ) B、(-∞，-3] C、{-3} D、(-∞，5]
3、已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)
时是减函数，则f(1)等于( )
A、-3 B、13 C、7 D、由m而决定的常数
4、函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( )
A、(3，8) B、(-7，-2) C、(-2，3) D、(0，5)
5、函数y=的递增区间是( )
A、(-∞，-2) B、[-5，-2] C、[-2，1] D、[1，+∞)
6、如果函数f(x)=x2+bx+c对任意t都有f(2+t)=f(2-t)，那么( )
A、f(2)C、f(2)7、已知在区间（4，）上是增函数，则a的范围是 （ ）
二、填空题
8、已知函数f(x)=x2-2ax+a2+b，(1)若f(x)在(-∞，1)上是减函数，则a的取值范围是______；(2)若对于任意x∈R恒有f(x)≥0，则b的取值范围是____________。
9、在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 ______种。
10、函数f(x)=(2k+1)x+b在上是减函数，则k的取值范围是_______________。
11、已知二次函数y=f(x)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线，则f(6与f(4)的大小关系为_________________。
12、函数y=|x-a|在上为减函数，则a的取值范围为______________。
三、解答题
13、求函数的单调区间.
14、设函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且有f(2a2+a+1)15、已知函数f(x)=x+，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：f(x)在其定义域内是增函数；
(3)求f(x)的值域．
选择题
B；2.B；3.B；4.A；5.B；6.A；7、B
二、填空题
8、（1）a≥1，（2）b≥0；
9、15．
10、
11、f(4)>f(6)
12、
三、解答题
13、解: 将f(x)=x2-2x+3配方,得f(x)=(x-1)2+2＞0,所以函数f(x)在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞ 上是增函数. 又因为y=[f(x)]-0.5 ,α=-0.5＜0,由定理1和定理2可知,函数的单调增区间是(-∞,1),单调减区间为[1,+∞].
14、解：2a2+a+1=2(a2++)+=2(a+)2+>0，
3a2-2a+1=3(a2-a+)+=3(a-)2+>0．
又∵f(x)在(0，+∞)上是减函数，
∴原不等式可变形为2a2+a+l>3a2-2a+1．
整理，得a2-3a<0．解得015、解：(1)要使函数有意义，须l+2x>O，解得定义域为x≥-．
(2)任取x1,x2∈[-，+∞)，且x1= (x1-x2)+-= (x1-x2)+
= (x1-x2)(1+).
∵-≤x10
∴f(x1)(3)由(2)知f(x)min=f(-)=-， ∴y=f(x)的值域为[-，+∞)．
