第二讲 证明不等式的基本方法
2.3 反证法与放缩法
A级 基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是( )
A.＝ B. ＜
C. ＝，且＜ D. ＝或＜
解析：应假设≤，即＝或＜.
答案：D
2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为( )
A．a，b，c，全不为0
B．a，b，c至少有一个为0
C．a，b，c至少有一个不为0
D．a，b，c至多有一个不为0
解析：“a，b，c全为0”的否定是“a，b，c至少有一个不为0”．
答案：C
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的命题个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
答案：C
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.
答案：C
5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则( )
A．M≥N B．M≤N
C．M＞N D．M＜N
解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0，
又a＋b＋c＝1，
所以≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，
从而≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)，
所以M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：A
二、填空题
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
解析：因为＜＝＜＝1，
所以lg 9·lg 11＜1.
答案：lg 9·lg 11＜1
8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．
解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以
M＝＋＋＋…＋
答案：M＜1
三、解答题
9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：(反证法)设≥2，≥2，
则
由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．
所以，中至少有一个小于2.
10．已知n∈N*，求证：＋＋…＋＜
.
证明：由基本不等式，得＜＝，
所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝＝＜，故原不等式成立．
B级 能力提升
1．(2018·浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1>1，则( )
A．a1
a3，a2C．a1a4 D．a1>a3，a2>a4
解析：构造不等式ln x≤x－1，
则a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，
所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q<0.
若q≤－1，则ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0.
又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1，
所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾．
因此－1所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，
所以a1>a3，a2答案：B
2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小值为________．
解析：因为≥≥，且≥，
所以＋≥＋≥2 ＝，
当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．
答案：
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N*)，
(1)求a2，a3并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
(1)解：因为a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N*)，
所以a2＝2·a1＝16，
a3＝2·a2＝72.
又因为＝2·，n∈N*，
所以为等比数列，
所以＝·2n－1＝2n，所以an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋
<＋＋＋·
＝＋·
<＋·
＝＋＝
＝<＝，
所以不等式得证．
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