第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法
A级 基础巩固
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( )
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
解析：s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，所以s≥t.
答案：D
2．已知a，b都是正数，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P≤Q
解析：因为a，b都是正数，
所以P＞0，Q＞0.
所以P2－Q2＝a＋b22－(a＋b)2＝－（a－b）22≤0.
所以P2－Q2≤0.所以P≤Q.
答案：D
3．已知a＞b＞－1，则1a＋1与1b＋1的大小关系为( )
A.1a＋1＞1b＋1 B.1a＋1＜1b＋1
C.1a＋1≥1b＋1 D.1a＋1≤1b＋1
解析：因为a＞b＞－1，所以a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，
则1a＋1－1b＋1＝b－a（a＋1）（b＋1）＜0，所以1a＋1＜1b＋1.
答案：B
4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为( )
A．a5＞b5 B．a5＜b5
C．a5＝b5 D．不确定
解析：由等比数列的性质知a5＝a23a1，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1≠a3，
故a5－b5＝a23a1－2b3＋b1＝a23－2a3a1＋a21a1＝（a3－a1）2a1＞0.
因此，a5＞b5.
答案：A
5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．大小不确定
解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，0＜a3＋1a2＋1＜1，
所以logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，a3＋1a2＋1＞1，所以logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A.
答案：A
二、填空题
6．设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a＞0，b＞0)，则A，B的大小关系为________．
解析：A－B＝b＋a2ab－2a＋b＝（a＋b）2－4ab2ab（a＋b）＝（a－b）22ab（a＋b），
因为a＞0，b＞0，所以2ab＞0，a＋b＞0，
又因为(a－b)2≥0，所以A≥B.
答案：A≥B
7．设a>b>0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y(填“>”“<”或“＝”)．
解析：因为xy＝a＋b－aa－a－b＝a＋a－ba＋a＋b
0，y>0，
所以x答案：<
8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，故a＝－2，b＝－12不同时成立．
答案：a＝－2，b＝－12不同时成立
三、解答题
9．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)?(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)，f(2)，f(6)成等差数列．
(1)求f(30)的值；
(2)若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解：(1)由f(0)，f(2)，f(6)成等差数列，得
2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，
即(m＋2)2＝m(m＋6)(m>0)．
所以m＝2，所以f(30)＝log2(30＋2)＝5.
(2)f(a)＋f(c)>2f(b)．
证明如下：2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，
又b2＝ac，
所以(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.
因为a＋c>2ac＝2b(a≠c)，
所以2(a＋c)－4b>0，
所以log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，
即f(a)＋f(c)>2f(b)．
B级 能力提升
1．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M≥N D．M≤N
解析：因为M＝aa＋bbab＝（a＋b）（a－ab＋b）ab.
且M，N＞0，a≠b，
MN＝a－ab＋bab＞2ab－abab＝1，
所以M＞N.
答案：A
2．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．
解析：设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045a－3 5009，
因为a＜3 5009，所以L1＜L2，月末出售好．
答案：月末
3．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abab.
证明：因为a＞0，b＞0，且a≠b，
所以a2b＋ab2＞2abab，a3＋b3＞2abab，
所以a2b＋ab2－2abab＞0，
a3＋b3－2abab＞0.
所以|a2b＋ab2－2abab|－|a3＋b3－2abab|＝a2b＋ab2－2abab－a3－b3＋2abab＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
所以|a2b＋ab2－2abab|＜|a3＋b3－2abab|，
所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2abab.
课件29张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法