第二讲 证明不等式的基本方法
2.2 综合法与分析法
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式xy＞1，x＋y≥0，则( )
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0
C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
解析：因为xy＞1＞0，所以x，y同号．又x＋y≥0，故x＞0，y＞0.
答案：A
2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(2＋1) B．xy≤2＋1
C．x＋y≤2(2＋1)2 D．xy≥2(2＋1)
解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，
所以(x＋y)＋1＝xy≤x＋y22.
所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
解得x＋y≥2(2＋1)．
答案：A
3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，
所以cos α＞cos(α＋β)．
又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
答案：D
4．设13＜13b＜13a＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
解析：因为13＜13b＜13a＜1，
所以0＜a＜b＜1，所以aaab＝aa－b＞1，所以ab＜aa，
aaba＝aba.因为0＜ab＜1，a＞0，
所以aba＜1，所以aa＜ba，所以ab＜aa＜ba.
答案：C
5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.
反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．
如：a＝12，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.
答案：B
二、填空题
6．若1a＜1b＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ba＋ab＞2.
其中正确的不等式的序号为________．
解析：因为1a＜1b＜0，
所以b＜a＜0，故②③错．
答案：①④
7．若a＞0，b＞0，则下列两式的大小关系为：
lg1＋a＋b2________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b )]．
解析：12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝12lg[(1＋a)(1＋b)]＝lg[(1＋a)(1＋b)]12，
又lg1＋a＋b2＝lga＋b＋22，
因为a＞0，b＞0，
所以a＋1＞0，b＋1＞0，
所以[(a＋1)(1＋b)]12≤a＋1＋b＋12＝a＋b＋22，
所以lg1＋a＋b2≥lg[(1＋a)(1＋b)]12.
即lg1＋a＋b2≥12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≥
8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的等比中项，1R是1a，1b的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．
解析：P＝a＋b2，Q＝ab，2R＝1a＋1b，
所以R＝2aba＋b≤Q＝ab≤P＝a＋b2，
当且仅当a＝b时取等号．
答案：P≥Q≥R
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a.
证明：要证c－c2－ab＜a，
只需证明c＜a＋c2－ab，
即证b－a＜2c2－ab，
当b－a＜0时，显然成立；
当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，
即证(a＋b)2＜4c2，
由2c＞a＋b知上式成立．
所以原不等式成立．
10．已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数．
求证：aa＋m＋bb＋m>cc＋m.
证明：要证aa＋m＋bb＋m>cc＋m，
只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)?(b＋m)>0，
即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，
即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0.
由于a，b，c是△ABC的边长，m>0，故有a＋b>c，
即(a＋b－c)m2>0.
所以abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0是成立的．
因此aa＋m＋bb＋m>cc＋m成立．
B级 能力提升
1．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )
A．S≥2P B．P＜S＜2P
C．S＞P D．P≤S＜2P
解析：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
即S≥P.
又三角形中|a－b|＜c，所以a2＋b2－2ab＜c2，
同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，
所以a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.
答案：D
2．若n为正整数，则2n＋1与2n＋1n的大小关系是________．
解析：要比较2n＋1与2n＋1n的大小，只需比较(2n＋1)2与2n＋1n2的大小，即4n＋4与4n＋4＋1n的大小．
因为n为正整数，所以4n＋4＋1n＞4n＋4.
所以2n＋1＜2n＋1n.
答案：2n＋1＜2n＋1n
3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；
(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，
(c＋d)2＝c＋d＋2cd，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.
因此a＋b>c＋d.
(2)①若|a－b|<|c－d|，
则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，
由(1)得a＋b>c＋d.
②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd，
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|<|c－d|，
综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
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