第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D．P≤Q
解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0.
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，
则P≥Q.
答案：B
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元 B．400 元
C．450 元 D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．
答案：A
3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B B．A＜B
C．A≥B D．A≤B
解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.
答案：C
4．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，
由乱序和不小于反序和，知
＋＋≥＋＋＝3，
所以＋＋的最小值为3.
答案：A
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D．小于等于零
解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)
解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．
答案：≥
7．若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
答案：32 28
8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．
解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．
顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．
根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元．
答案：19 25
三、解答题
9．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的最小值．
解：不妨设a3＞a1＞a2＞0，则＜＜，
所以a1a2＜a2a3＜a3a1.
设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，
顺序和S′＝＋＋.
由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，
所以＋＋的最小值为1.
10．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
证明：因为0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数，
所以0cos β>cos γ>0.
所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
B级 能力提升
1．已知实数a≥b≥c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D.
解析：因为a≥b≥c≥0，知≥≥，
由排序不等式，得
a＋b＋c≤a＋b＋c.
又(a＋b＋c)2≤[(a)2＋(b)2＋(c)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，
所以a＋b＋c≤3.
故a＋b＋c≤3.
答案：C
2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．
解析：不妨设a≥b＞0，
则有a2≥b2，且≥.
由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为1.
答案：1
3．设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列．
求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.
证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1则>>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，所以≥，≥，…，≥，
利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.所以原不等式得证．
课件30张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式
