第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.1 二维形式的柯西不等式
3.2 一般形式的柯西不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝x－5＋26－x的最大值是( )
A.3 B.5
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1?x－5＋2?6－x≤12＋22?（x－5）2＋（6－x）2＝5.
答案：B
2．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为( )
A．24 B．30
C．36 D．48
解析：(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x?1x＋y?2y＋z?3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36.
答案：C
3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是( )
A．26 B.6
C．6 D．12
解析：(4a＋1＋4b＋1)2＝(1?4a＋1＋1?4b＋1)2≤(12＋12)?(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立．
答案：D
4．已知a1－b2＋b1－a2＝1，则以下成立的是( )
A．a2＋b2＞1 B．a2＋b2＝1
C．a2＋b2＜1 D．a2b2＝1
解析：由柯西不等式，得1＝a1－b2＋b1－a2≤a2＋（1－a2）?（1－b2）＋b2＝1，
当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，
所以ab＝1－a2 1－b2，
即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，
于是a2＋b2＝1.
答案：B
5．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．不确定
解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，
当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．
所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.
答案：A
二、填空题
6．函数y＝x－1＋5－x的最大值是________．
解析：因为(x－1＋5－x)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8，
当且仅当x－1＝5－x，即x＝3时，等号成立，所以x－1＋5－x≤22，函数y取得最大值22.
答案：22
7．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝13(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥13(1?x＋1?y＋1?z)2＝13(x＋y＋z)2＝13，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
答案：13
8．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．
解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5.
答案：5
三、解答题
9．已知m＞0，n＞0，m＋n＝p，求证：1m＋1n≥4p，指出等号成立的条件．
证明：根据柯西不等式，得1m＋1n(m＋n)≥ m?1m＋ n?1n2＝4.
于是1m＋1n≥4m＋n＝4p.
当m＝n＝p2时等号成立．
10．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．
解：由x＋y＋z＝12?2x＋13?3y＋1?z.
根据柯西不等式，有12?2x＋13?3y＋1?z2≤
122＋132＋12?(2x2＋3y2＋z2)＝116(2x2＋3y2＋z2)，因此1＝(x＋y＋z)2≤116(2x2＋3y2＋z2)，
所以u＝2x2＋3y2＋z2≥611，
当且仅当2x＝λ2，3y＝λ3，z＝λ时等号成立．
所以x＝λ2，y＝λ3，z＝λ，代入x＋y＋z＝1，
得x＝311，y＝211，z＝611时，等号成立．
故函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是611.
B级 能力提升
1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为( )
A.53，109，56 B.2029，3029，4029
C．1，12，13 D．1，14，19
解析：当且仅当x2＝y3＝z4时，取到最小值，所以联立x2＝y3＝z4，2x＋3y＋4z＝10，可得x＝2029，y＝3029，z＝4029.
答案：B
2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是________．
解析：因为2x＋5y＝2x?1＋5y?1≤（2x）2＋（5y）2?12＋12＝1?2＝2，
所以2x＋5y的最大值为2.
答案：2
3．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥13；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
(1)证明：x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y?(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥xy＋2z?y＋2z＋yz＋2x?z＋2x＋zx＋2y?x＋2y＝1，
即3x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥1，
所以x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥13.
(2)解：由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥334x＋y＋z2，
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝z－122＋34≥34，
故4x＋4y＋4z2≥33434＝32，
当且仅当x＝y＝14，z＝12时等号成立，
所以4x＋4y＋4z2的最小值为32.
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