课件15张PPT。数学 高一 必修四 人教B版
《余弦函数的图像与性质》
教学目标：会利用平移变化的方法和五点作图法作出余弦函数的图象
根据余弦函数图象的特征，类比正弦函数的性质掌握余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。2016年国家公务员考试类比推理习题 （ ）
1.白衣天使：护士
A.雷锋：助人为乐 B.橄榄枝：和平
C.钢铁长城：军人 D.教师：灵魂工程师C探究1：函数的周期性
探究2：函数的单调区间
探究3：函数取得最大值时相应的x的值
探究4：它的图像是由函数y=cosx的图像经过怎样的变换得到的？问题引导：正弦型函数（转化与划归思想）R[-1,1]奇函数y=sinx (x?R) 复习引入余弦函数的图象 正弦函数的图象 y=sin(x+ ) 余弦曲线(0,1)( ,0)( ? ,-1)( ,0)( 2? ,1)形状完全一样只是位置不同(0,1)( ,0)( ? ,-1)( ,0)( 2? ,1) y=cosx (x?R) =cosx, R[-1,1]偶函数 y=cosx (x?R) x= 时 ymax=1
x= 时 ymin=-12kπ2kπ+ π引例、利用五点作图法做出函数图像例1、求下列函数的最大值和最小值例2、判断下列函数的奇偶性： (1) y=cosx+2(2) y=sinx·cosx解： (1) 记f(x)=cosx+2
因为f(-x)=cos(-x)+2= cosx+2= f(x)
所以y= cosx+2是偶函数
解： (2) 记f(x)=sinx·cosx
因为f(-x)=sin(-x) ·cos(-x)= -sinx·cosx=- f(x)
所以y= sinx·cosx是奇函数
练习：判断下列函数的奇偶性：小结：问题1：函数的周期性
问题2：函数的单调区间
问题3：函数取得最大值时相应的x的值
问题4：它的图像是由函数y=cosx的图像经过怎样的变换得到的？问题回扣：正弦线正弦函数的图象余弦函数的图象“五点法”作图余弦函数的性质定义域值域周期性对称性单调性性质的应用正弦函数的性质《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的知识框架平移变换类比思想情感目标：人生可比是海上的波浪
有时起有时落 好运歹运
三分天注定七分靠打拼
爱拼才会赢
爱拼才会赢 余弦函数的图象与性质 测评练习
A组
1.观察余弦曲线，写出满足下列条件的x的取值区间：
(1) (2)
2.求下列函数的周期:
3、求函数的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
B组
1、求函数y＝2cos在上的值域。
2、已知函数
问题1：函数的周期性
问题2：函数的单调区间
问题3：函数取得最大值时相应的x的值
问题4：它的图像是由函数y=cosx的图像经过怎样的变换得到的？
【设计意图】：通过设置两个层次的题目，对本节内容进行及时巩固。
A组题，要求全班达标率达90%； B组题，要求全班达标率达70%。
1.3.2余弦函数的图象与性质教学设计
一、教学内容分析:
三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础是几何中的圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图形分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
“余弦函数的图象与性质”是高中人教B版《数学》必修4第一章基本初等函数（Ⅱ）第三节的内容。是在学习了三角函数定义、诱导公式及正弦函数的图象与性质的基础上引入的，是对学习了正弦函数图象与性质后的一个很好的方法的应用,又是对后面正切函数的图象与性质的学习,有了更进一步的知识基础和方法储备.这使得余弦函数的图象与性质的教学起到了呈上启下的作用.它与正弦函数一样也是数学中重要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具.
教材通过对正余弦曲线的形状特点的研究得到了正弦函数、余弦函数的性质，进一步研究函数性质的应用，注意重点培养学生的数形结合思想。
二、学生学习情况分析：
学生已经掌握了正弦线、诱导公式等三角函数知识，一些基本函数的图象与画法，这为本节课的学习奠定了知识上的基础。学生可类比正弦函数来学习本节内容。整体说来，学生学起来会比较轻松。但学生在探究出了余弦函数的图象和性质之后,会暂时出现混淆的状态, 例如利用正弦线画出正弦函数图象时，学生难以想到平移正弦线的作用，理解图象的形成过程有一定的困难。五点法画正余弦函数的简图时，由于五点的选取和往常不一样，因此选关键点时，可能会遇到一些障碍，所以需要在授课中引导学生时刻和正弦函数作对比,区分记忆.对余弦函数的性质的应用，学生需要在练习中时刻与正弦函数类比，逐步培养学生的知识迁移能力。
三、设计思想
本节课的设计遵循从已知到未知的原则，时刻抓住正弦与余弦间的联系,由问题引入新课题。运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握余弦函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标
1.会利用"图象变换法"和”五点法”作余弦函数的图象；掌握余弦函数的主要性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）。并掌握性质的应用；
2.培养学生自主探索与合作学习的能力，同时也培养学生应用类比、化归以及数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；
3. 让学生亲身经历数学的研究过程，使学生在学习活动中获得成功感，感受数学的魅力；体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度；从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。
五、教学重点与难点
学习重点：余弦函数的图象、性质的应用。
学习难点：余弦函数的图象。
六、教学过程设计
（一）复习引入
【问题1】用“五点法”作出正弦函数的图象。
x
sinx
【学生活动】：学生回答，师生交流。
【设计意图】：通过提问，使学生复习与本节课有关的正弦函数的“五点法”作图，为余弦函数的图象的简图的作法作好准备。
【问题2】填表复习正弦函数的性质
函 数 性 质
y= sinx (k∈z)
定义域
?
值域
?
最值及相应的 x的值
?
周期性
?
奇偶性
?
单调性
?
【学生活动】：学生回答，师生交流。
【设计意图】：通过提问，学生复习正弦函数的性质，为后面探究余弦函数的性质作类比准备，同时为学生分析正、余弦函数的性质的异同作准备。
【问题3】你能解决下面这个问题吗？
已知函数
问题1：函数的周期性
问题2：函数的单调区间
问题3：函数取得最大值时相应的x的值
问题4：它的图像是由函数y=cosx的图像经过怎样的变换得到的？
【学生活动】：学生回答，师生交流。
【设计意图】：通过提问，让学生意识到先转化为正弦型函数再解决，可行但有点儿麻烦，由此引入课题：余弦函数的图象与性质。
（二）概念生成：余弦函数的图象
【问题1】 你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?
【学生活动】：学生独立思考回答，师生交流。（有必要时，小组讨论）
【设计意图】：通过提问，让学生思考正、余弦间的联系，借助图象变换，将正弦函数的图象进行适当的平移，从而得到余弦函数的图象。
【学情预设】：此处学生可能一时之间，找不到适当的诱导公式，教师可适当提示：如何将余弦函数转化为正弦型函数？此处可适当让学生小组讨论。
（三）概念理解：余弦函数的图象与性质
【自主探究】观察余弦函数的图象，解决以下问题:
【问题2】类似于正弦函数的图象的五个关键点,你能找出余弦函数的五个关键点吗?
请将它们的坐标填入下表,然后作出的简图.
x
cosx
【问题3】请归纳余弦函数的性质。
【学生活动】：学生小组交流，派代表回答。
【设计意图】：通过小组交流的形式，让学生类比着正弦函数的学习方法来学习余弦函数的图象与性质。
【问题4】正余弦函数的性质有哪些相同之处？有哪些不同之处？
【学生活动】：学生思考并回答，其他学生补充。
【设计意图】：通过正、余弦函数的性质作对比，加深对余弦函数的性质的理解。
（四）概念深化：余弦函数的图象与性质的应用
探究1：用”五点法”作出 函数在一个周期内的图象及求值域
【学生活动】：学生独立完成，并借助投影仪展示，讲解，其他学生补充。
【设计意图】：掌握余弦函数型函数的“五点法”作图，掌握余弦型函数的值域求法，同时使学生进一步掌握数形结合的处理方法来解决，形成通法。
探究2；求奇偶性
【学生活动】：学生思考并回答。
【设计意图】：掌握余弦型函数的周期求法
【教师活动】：复习并利用函数奇偶性的判定方法讲解例题
【学生活动】：学生做对应练习并回答，其他学生补充完善。
【设计意图】：通过题后的反思整理，帮助学生梳理概念和方法，逐步养成整理归纳的习惯。
探究3：求周期
【学生活动】：学生思考并回答。
【设计意图】：掌握余弦型函数的周期求法，同时使学生明确余弦型函数的问题可类比正弦型函数的问题的处理方法来解决，形成通法。
探究4：求单调区间
【学生活动】：学生独立完成，同时有学生板书，并讲解，其他学生补充完善。
【设计意图】：掌握余弦型函数的单调性的求法。
【教师活动】：本题进行下微变：变式1：
【学生活动】：学生先独立尝试完成,遇困难后小组合作交流。
【设计意图】：借助变式，使学生掌握余弦型函数的单调性的求法，完善学生的思维过程。
【学情预设】：变式1可能会有两种作法，教师要比较，帮学生找到恰当的方法。
【教师活动】：如何求余弦型函数 的单调区间
【学生活动】：换元法,口诀:同增异减
【设计意图】：通过题后的反思整理，帮助学生梳理概念和方法，逐步养成整理归纳的习惯并形成通法。
（五）课堂小结：
【问题】本节课你有哪些收获？（知识方面，数学思想方法方面）
【学生活动】：学生代表发言，其他学生补充。
【设计意图】：学生自己梳理本节所学知识，充分实现了学生的主体地位，这样既发展了学生的概括总结能力和表达能力，又使学生对知识有了一个系统的理解与认识。
（六）分层作业
基础作业：练习
拓展作业：探究余弦型函数的其它性质。
【设计意图】：分层作业符合因材施教的教学理念；拓展作业激发学生学习数学的兴趣，为学有余力的学生提供思考的平台。通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容。体现了同起点、不同终点的思想，使不同层次的学生都有收获。
七、教学反思
一、本节课贯彻“学生为主体、教师为主导、探究为主线、知识为基础、应用为目标”的教学原则，采用“问题导引、合作探索”的探究式的教学方法。教学环节分为以下6个环节：
通过复习回顾正弦函数的图象与性质，抛出一个余弦型函数的问题，向同学们指出学习余弦函数的必要性，从而引出课题。
通过设置问题：使学生利用诱导公式，借助正弦函数的图象得到余弦函数的图象，顺利的突破难点。效果不错。
类比正弦函数的有关问题，通过小组合作探究的学习模式，归纳余弦函数的图象与性质。通过与正弦函数的性质作对比不仅加深对余弦函数性质的理解。更重要的是让学生体会正余弦函数的区别与联系。
对余弦函数的性质的应用，设置四个问题的探究，通过学生投影仪展示讲解，黑板展示讲解，其他学生点评，总结归纳方法。使学生掌握余弦型函数的部分性质的处理方法。进一步地体会类比对相关问题解决的重要性，,以便能将其迁移到余弦型函数其它问题中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。?
5、课堂小结：学生自己梳理本节所学知识，易错点，体会知识的获得和问题的解决中所蕴含的数学思想方法，充分实现了学生的主体地位，这样既发展了学生的概括总结能力和表达能力，又使学生对知识有了一个系统的理解与认识。
6、测评练习：A组 要求达标率为90%， B组 要求达标率为70%。
二、本节课在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。这对学生后面的知识的学习起到了一定的帮助。
但这节课也有不少缺点，由于内容繁琐过多，学生不一定能够接受全部所学知识，并没有达到最好的效果，主要存在以下几个方面的不足，需要我认真反思，并在今后不断努力改进：
1、教学语言还需要不断锤炼，普通话不够准确。数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响。但我在上本节课时有些地方太罗嗦，普通话有时说的太别扭。
2、在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。比如开头讲函数的图象时，给学生寻找关键点的时间不够长；应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程，而且可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的理解更为深刻。
3、时间安排上不够精当。在讲解理论知识时用的时间显得长了点。在讲解例题时用的时间较短。应当反过来，这样学生才能有充分的独立思考时间；同时也可避免“能力提升练习”讲解时间不够的遗憾。
4、板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，摆在学生面前的板书也是重要的一环。优秀的教师，粉笔字潇洒大方，作图时一气呵成，让学生赏心悦目，叹为观止。而我虽然经过十年多的锻炼，板书设计上工整了许多，但字体不够美观，粉笔字书写有时学生认不得。作图时擦擦改改，这些方面还需多下功夫去练习。
总之：面对过去自己经历过的刻板、死气、严肃的灌输式教育教学模式，现在更提倡多给学生一点爱和时间，让学生积极地参与到课堂活动中来；同时老师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，体现良好的示范作用。作为年轻教师，我必须不断学习，不断改进和超越自己，才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这段时间的优质示范课课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台，我会以此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，争取早日脱胎换骨，成为一名成熟并且优秀的数学教师！
