第四讲 数学归纳法证明不等式
4.2 用数学归纳法证明不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
解析：由题意n≥3知应验证n＝3.
答案：C
2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.
答案：C
3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出的一般结论为( )
A．f(2n)＞(n＞1，n∈N*)
B．f(n2)＞(n＞1，n∈N*)
C．f(2n)＞(n＞1，n∈N*)
D．以上都不对
解析：f(2)＝，f(4)＝f(22)＞，
f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，
f(32)＝f(25)＞，…，
依此类推可知f(2n)＞(n＞1，n∈N*)．
答案：C
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k＜5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：由“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A，k＝1，2时不一定成立，对于B，C，显然错误．对于D，因为f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．
答案：D
5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以[f(n)]max＞，
所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.
答案：B
二、填空题
6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步的验证为________．
解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
答案：21＋1≥12＋1＋2
7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．
解析：由题中已知不等式可猜想：
＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)．
答案：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)
8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．
解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．
答案：
三、解答题
9．设a为有理数，x>－1.如果0
证明：0(1＋x)a＝(1＋x)
≤
＝
＝1＋x
＝1＋ax，
当且仅当1＋x＝1，即x＝0时，等号成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．
证明：由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，所以22k≥2k＋1，所以n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
B级 能力提升
1．对于正整数n，下列不等式不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D．0.1n≤1－0.9n
解析：排除法，取n＝2，只有C不成立．
答案：C
2．利用数学归纳法证明＜时，n的最小取值n0应为________．
解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.
答案：2
3．函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤xn(2)求数列{xn}的通项公式．
(1)证明：用数学归纳法证明：2≤xn①当n＝1时，x1＝2，
直线PQ1的方程为y－5＝(x－4)，
令y＝0，解得x2＝，所以2≤x1②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即2≤xk直线PQk＋1的方程为y－5＝(x－4)，
令y＝0，解得xk＋2＝.
由归纳假设知xk＋2＝＝4－<4－＝3；
xk＋2－xk＋1＝>0，
即xk＋1所以2≤xk＋1由①②知对任意的正整数n，2≤xn(2)解：由(1)及题意得xn＋1＝.
设bn＝xn－3，则＝＋1，
＋＝5，
数列是首项为－，公比为5的等比数列．
因此＋＝－·5n－1，
即bn＝－，
所以数列{xn}的通项公式为xn＝3－.
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