第一讲 不等式和绝对值不等
1.2 绝对值不等式
1.2.1 绝对值三角不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是( )
A．|x－y|＜ε B．|x－y|＜2ε
C．|x－y|＞2ε D．|x－y|＞ε
解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε.
答案：B
2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|(ab＞0)
C．|a＋b|≤|a|＋|b| D.≥2
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立．
答案：A
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．5 B．4
C．8 D．7
解析：由题意得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：A
4．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m
C．m＝n D．m≤n
解析：由绝对值三角不等式知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，所以≤1≤.
答案：D
5．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，4] B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[5，＋∞) D．[－2，5]
解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：A
二、填空题
6．“|x－A|＜且|y－A|＜”是“|x－y|＜q”的________条件．
解析：因为|x－y|＝|(x－A)－(y－A)|≤|x－A|＋|y－A|＜＋＝q.
所以充分性成立．
反之若|x－y|＜q不能推出|x－A|＜且|y－A|＜成立．
答案：充分不必要
7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．
因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，
即f(x)max＝1，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
8．x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．
解析：|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，
|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，
所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2，
当且仅当x∈[0，1]，y∈[0，1]时，|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|取得最小值2，
而已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，所以x＋y∈[0，2]．
答案：[0，2]
三、解答题
9．已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.
证明：①若|a|>|b|，
左边＝＝≥＝
.
因为≤，≤，
所以＋≤.
所以左边≥＝右边．
②若|a|<|b|，左边>0，右边<0，
所以原不等式显然成立．
③若|a|＝|b|，原不等式显然成立．
综上可知原不等式成立．
10．(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|解：(1)法一 ||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
所以－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
所以ymax＝4，ymin＝－4.
法二 把函数看作分段函数．
y＝|x－3|－|x＋1|＝
所以－4≤y≤4.所以ymax＝4，ymin＝－4.
(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4|当且仅当(x－3)(4－x)≥0，
即3≤x≤4时等号成立．
所以当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.
所以a的取值范围为(－∞，1]．
B级 能力提升
1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|>2
B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
D．不可能比较大小
解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2；
当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
答案：B
2．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________________________________________．
解析：①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
答案：①③?②
3．设函数y＝|x－4|＋|x－3|，求：
(1)y的最小值；
(2)使y(3)使y≥a恒成立的a的最大值．
解：(1)当x≤3时，y＝－(x－4)－(x－3)＝7－2x是减函数，所以y≥7－2×3＝1.
当3当x≥4时，y＝(x－4)＋(x－3)＝2x－7是增函数，所以y≥2×4－7＝1.所以ymin＝1.
(2)由(1)知y≥1.要使y1，即a的取值范围为(1，＋∞)．
(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．
所以amax＝1.
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