第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则( )
A．x＋y＋z的最大值是3
B．x＋y＋z的最大值是3
C．x＋y＋z的最小值是3
D．x＋y＋z的最小值是3
解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥3＝3，当且仅当x＝y＝z＝时，x＋y＋z取得最小值3.
答案：D
2．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6) B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
解析：因为x，y，z为正数，
所以xyz≤＝23.
所以lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．
答案：B
3．若a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥
3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋的最小值为3.
答案：D
4．函数y＝x2(1－5x)的最大值是( )
A．4 B.
C. D.
解析：由00，
y＝x2(1－5x)＝·x·x·≤·＝.
答案：C
5．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2
C．12 D．12
解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.
当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．
答案：C
二、填空题
6．正项等比数列{an}中，a2＝9，则a1＋a2＋a3的最小值为________．
解析：a1＋a2＋a3≥3＝3＝3a2＝27，当且仅当a1＝a2＝a3时取等号．
答案：27
7．若a，b，c，d为正数，则＋＋＋的最小值为________．
解析：由基本不等式的推广可得，＋＋＋≥4 ＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．
答案：4
8．函数y＝4sin2 x·cos x的最大值为_______，最小值为______．
解析：因为y2＝16sin2 x·sin2 x·cos2 x＝8(sin2 x·sin2 x·2cos2 x)≤8＝8×＝，所以y2≤，
当且仅当sin2 x＝2cos2 x，即tan x＝±时取等号．
所以ymax＝，ymin＝－.
答案： －
三、解答题
9．θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．
所以ymax＝.
10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－.
所以≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
B级 能力提升
1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤
π＝π.
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
2．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为______．
解析：因为a＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．
答案：8
3.如图，在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
解：因为r＝，
所以E＝k·，
所以E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·＝，
当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，
即tan2θ＝，tan θ＝，
所以h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大．
所以当灯的高度h为 m时，才能使桌子边缘处最亮．
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