第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为a，b∈R时，都有a2＋b2≥2ab，
而ab＋ba≥2等价于ab>0，
所以“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”的必要不充分条件．
答案：B
2．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；
②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2；
③若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：显然①不正确；对于②，虽然x2＋2＝1x2＋2无解，但x2＋2＋1x2＋2>2成立，故②正确；③不正确，如a＝1，b＝4.
答案：B
3．函数y＝1x－3＋x(x>3)的最小值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：原式变形为y＝1x－3＋x－3＋3.
因为x>3，所以x－3>0，所以1x－3>0，
所以y≥2（x－3）?1x－3＋3＝5，当且仅当x－3＝1x－3，即x＝4时等号成立．
答案：A
4．若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为直线xa＋yb＝1过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.
又a，b均大于0，
所以a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2 ba?ab＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以a＋b的最小值为4.
答案：C
5．函数y＝x2x4＋9(x≠0)的最大值及此时x的值为( )
A.16，3 B.16，±3
C.16，－3 D.16，±3
解析：y＝x2x4＋9＝1x2＋9x2(x≠0)，
因为x2＋9x2≥2x2?9x2＝6，所以y≤16，
当且仅当x2＝9x2，即x＝±3时，ymax＝16.
答案：B
二、填空题
6．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－12x2的最大值是________，取得最值时x的值是________．
解析：f(x)＝2－3x2＋4x2≤2－3×4＝－10，当且仅当x2＝4x2，即x＝±2时取等号．
答案：－10 ±2
7．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是________．
解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥23x?33y＋1＝23x＋3y＋1＝7，当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝13时，等号成立．
答案：7
8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
解析：设两数为x，y，即4x＋9y＝60.
1x＋1y＝1x＋1y?4x＋9y60＝16013＋4xy＋9yx≥16013＋2 4xy?9yx＝160×(13＋12)＝512.
当且仅当4xy＝9yx，且4x＋9y＝60，
即x＝6且y＝4时等号成立，故应填6和4.
答案：6 4
三、解答题
9．(1)已知x<2，求函数f(x)＝x＋4x－2的最大值．
(2)已知0解：(1)因为x<2，所以2－x>0，
所以f(x)＝x＋4x－2＝－（2－x）＋42－x＋2≤
－2 （2－x）?42－x＋2＝－2，
当且仅当2－x＝42－x，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．
所以f(x)＝x＋4x－2的最大值为－2.
(2)因为0所以1－2x>0.
所以y＝x(1－2x)＝12?2x(1－2x)≤
122x＋（1－2x）22＝18，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时，等号成立．
所以函数y＝x(1－2x)的最大值为18.
10．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg c＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，c＋a2≥ac＞0.
且上述三个不等式中等号不能同时成立．
所以a＋b2?b＋c2?c＋a2＞abc.
所以lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg c＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.
B级 能力提升
1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：由已知：y1＝20x，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x?20x＝8.
当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立．
答案：A
2．(2017?天津卷)若a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．
解析：因为a，b∈R，ab＞0，
所以a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥2 4ab?1ab＝4，
当且仅当a2＝2b2，4ab＝1ab，即a2＝22，b2＝24时取得等号．
故a4＋4b4＋1ab的最小值为4.
答案：4
3．若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求实数a的取值范围．
解：由x＞0，知原不等式等价于0＜1a≤x2＋3x＋1x＝x＋1x＋3恒成立．
又x＞0时，x＋1x≥2 x?1x＝2，
所以x＋1x＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．
因此x＋1x＋3min＝5，
从而0＜1a≤5，解得a≥15.
故实数a的取值范围为15，＋∞.
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