第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知m，n∈R，则>成立的一个充要条件是( )
A．m>0>n B．n>m>0
C．m
解析：>?－>0?>0?mn(n－m)>0?mn(m－n)<0.
答案：D
2．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由?a>b；
而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．
答案：B
3．已知实数a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)<0
C．ab2>cb2 D．a(a－c)<0
解析：由题意，知a>0，c<0，b的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．
答案：A
4．设a，b为正实数，则“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：若a0，b>0，
则>?－<－，
所以a－若a－且a>0，b>0?a2b－b答案：C
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )
A.－＞0 B．sin x－sin y＞0
C.－＜0 D．ln x＋ln y＞0
解析：函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以当x＞y＞0时，＜，即－＜0，故C正确；函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以由x＞y＞0?＜?－＜0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x＞y＞0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x＞y＞0 xy＞1 ln(xy)＞0 ln x＋ln y＞0，故D错误．
答案：C
二、填空题
6．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
解析：因为a－＝＜0，
所以a＜.
又因为a－a2＝a(1－a)＞0，
所以a＞a2，所以a2＜a＜.
答案：a2＜a＜
7．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是______．
解析：因为－4＜b＜2，
所以0≤|b|＜4，
所以－4＜－|b|≤0.
又1＜a＜3，
所以－3＜a－|b|＜3.
答案：(－3，3)
8．设a＞0，b＞0，则＋与a＋b的大小关系是________．
解析：＋－(a＋b)＝－(a＋b)＝.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.
所以＋≥a＋b.
答案：＋≥a＋b
三、解答题
9．已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范围．
解：设3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
则3a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
从而解得
所以3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)．
因为1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
所以≤(a＋b)≤，－≤(a－b)≤，
所以－2≤3a－2b≤10.
10．已知a＞b＞0，比较与的大小．
解：－＝＝.
因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0.
所以＞0.
所以＞.
B级 能力提升
1．(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
解析：法一 由0＜c＜1知y＝xc在(1，＋∞)上单调递增，故由a＞b＞1知ac＞bc，A错；
因为0＜c＜1，所以－1＜－c＜0，所以y＝xc－1在x∈(0，＋∞)上是减函数，所以bc－1＞ac－1，又ab＞0，所以ab·bc－1＞ab·ac－1，即abc＞bac，B错；
易知y＝logcx是减函数，所以0＞logcb＞logca，所以logbc＜logac，D错；
由logbc＜logac＜0，得－logbc＞－logac＞0，又a＞b＞1＞0，所以－alogbc＞－blogac＞0，所以alogbc＜blogac，故C正确．
法二 依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝.易验证A、B、D均是错误的，只有C正确．
答案：C
2．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：
①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.
其中不成立的是________．
解析：①－＝＝.
因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；
②取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＝1，②不成立；
③取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．
答案：①②③
3．已知＞，bc＞ad，求证：ab＞0.
证明：?
又bc＞ad，则bc－ad＞0.
由②得bc－ad＞0.
故ab＞0.
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