第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式
1.2.2 绝对不等式的解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式|x－2|>x－2的解集是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：原不等式同解于x－2<0，即x<2.
答案：A
2．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )
A. B．(－∞，0)∪
C. D.
解析：原不等式等价于，解得x<且x≠0，
即x∈(－∞，0)∪.
答案：B
3．(2017·天津卷)设θ∈R，则“＜”是“sin θ＜”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为＜，所以－＜θ－＜，
即0＜θ＜.
显然0＜θ＜时，sin θ＜成立．
但sin θ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．
故<是sin θ＜的充分而不必要条件．
故选A.
答案：A
4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：原不等式化为－6＜ax＋2＜6，即－8＜ax＜4.
又因为－1＜x＜2，所以验证选项易知a＝－4适合．
答案：C
5．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是( )
A．a＞－2 B．0＜a≤－2
C．a≥－2 D．以上都不正确
解析：由|x－2|＜a，得－a＋2＜x＜a＋2，
由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－.
所以即0＜a≤－2，
或无解．
答案：B
二、填空题
6．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|
解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a≤3.
答案：(－∞，3]
7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＜0时，显然成立；
因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋≤4.所以a＝2，
综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．
答案：(－∞，0)∪{2}
8．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，若f(x)≤5，则x的取值范围是________________．
解析：f(x)≤5?|2x－1|＋x－2≤0，
①解得≤x≤1.
②解得－1≤x<.
综上可得－1≤x≤1.
答案：[－1，1]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以，解得a＝2.
(2)由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝
利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.
因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，则m≤g(x)min.
即实数m的取值范围是(－∞，5]．
10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
B级 能力提升
1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1，2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.
答案：A
2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需 k≤1.
综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．
答案：[0，1]
3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足以下条件的m的取值范围．
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为?.
解：法一 因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．
法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为?，则m∈[1，＋∞)．
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