人教版必修五2.2.1等差数列的概念及通项公式课件（23张）

课件23张PPT。2.2.1　等差数列的概念及通项公式情 景 导 入相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说，据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高斯是如何计算的吗？课 标 点 击1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题．
2．掌握等差数列的常用性质，并能灵活地运用这些性质，使解题过程简捷准确．要 点 导 航知识点1　等差数列如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．例如，数列1，4，5，6，7，8，9，10就不是等差数列，而去掉第1项后，剩下的数组成的数列就是等差数列． (2)如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列不一定是等差数列，因为这个常数可能不唯一．
(3)一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前一项的差．因为等差数列具有d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1的特点，所以求公差可以用an＋1－an，也可以用an－an－1，还可以用a2－a1等．公差d可以是任何实数，当d＝0时，数列是常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(4)等差数列的定义还可表述为：在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则{an}是等差数列，常数d为公差．知识点2　等差数列的判定方法 (1)an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数)?{an}是等差数列．知识点3　等差数列的常用性质 (6){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝….
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(8)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋bn}(k，b为非零常数)也是等差数列．知识点4　解答等差数列有关问题时应注意的问题 (1)首项与公差，是解决等差数列问题的关键．
(2)等差数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，d，知道任意三个就可以列方程求另外一个．
(3)熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列问题的基础．
(4)寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换，使运算更为迅速和准确．
(5)学会运用函数的思想和方法解题．典 例 解 析题型1　等差数列定义及其应用例1　在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n为(　　)
A．m－n　　　　B．0　　　　C．m2　　　　D．n2
分析：a1，d是等差数列的基本元素，可先求出基本元素，再用它们去构成其他元素进行解答，或利用数列是特殊的函数这一点进行求解，或利用选择题的特点进行求解．题型2　利用“对称值”解题例2　等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.
分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．
解析：方法一　根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36，故2a1＋11d＝18.
而 a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.
方法二　根据等差数列性质，可得
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.名师点评：方法一设出了a1，d但并没有求出a1，d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想；方法二实际上运用了等差数列的性质：若p＋q＝m＋n，p，q，m，n∈N*，则ap＋aq＝am＋an.?变式迁移
2．在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(B)
A．12 B．16 C．20 D．24
解析：∵4＋8＝2＋10，根据等差数列性质，则a2＋a10＝a4＋a8＝16.题型3　如何判断数列为等差数列例3　已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？
分析：在a＋c＝2b条件下，是否有以下结果：
a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)?
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b－2b2c－2b2a
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)．
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
名师点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．?变式迁移
3．若(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝0，求证：x，y，z成等差数列．
证明：∵(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝(x＋z)2－2×2y(x＋z)＋4y2
＝(x＋z－2y)2＝0，∴2y＝x＋z.∴x，y，z成等差数列．